حلاً لمسألة التوافقية العددية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هو أصغر عدد صحيح إيجابي يحقق التوافقية $4x \equiv X \pmod{27}$؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 10، ما هو قيمة المتغير المجهول X؟

الحل:
لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام فهم الحسابات المتعلقة بالتوافقيات. في هذه الحالة، نريد أن نجد قيمة لـ x تحقق التوافقية المعطاة.

نعلم أن $4x \equiv X \pmod{27}$، ونعلم أن أصغر عدد صحيح إيجابي يحقق هذه التوافقية هو 10. لنجد قيمة المتغير المجهول X، يمكننا ببساطة استبدال x بالقيمة المعطاة:

$4 \times 10 \equiv X \pmod{27}$

الآن، قم بحساب المضاعفة:

$40 \equiv X \pmod{27}$

والآن، لنجد القيمة المعادة (الباقي) عند قسمة 40 على 27. يمكننا كتابة 40 على شكل 27 + 13، لذا:

$40 \equiv 27 + 13 \equiv 13 \pmod{27}$

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 13.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين التوافقيات والحسابات العددية. نريد العثور على أصغر قيمة لـ x التي تحقق التوافقية $4x \equiv X \pmod{27}$، ونعلم أن الإجابة هي 10.

قوانين التوافقيات:

1. إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $a + c \equiv b + d \pmod{m}$.
2. إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $ka \equiv kb \pmod{m}$ حيث k هو عدد صحيح.
3. إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $ac \equiv bd \pmod{m}$.

الحل:

نعلم أن $4x \equiv X \pmod{27}$ وأن أصغر حلاً هو x = 10. لنستخدم هذا الحل للعثور على قيمة المتغير المجهول X.

$4 \times 10 \equiv X \pmod{27}$

قم بحساب المضاعفة:

$40 \equiv X \pmod{27}$

الآن، قم بتقسيم 40 على 27 للعثور على القيمة المعادة:

$40 \div 27 = 1$ والباقي هو 13.

إذاً، قيمة المتغير المجهول X هي 13.

هذا الحل يعتمد على قوانين التوافقيات المذكورة أعلاه، حيث تساعد هذه القوانين في تسهيل حسابات التوافقيات وتبسيط العمليات الرياضية للعثور على الحلاول.