حلاً للمعادلة الرباعية باستخدام الجذر التربيعي (مسألة رياضيات)

العثور على قيمة $x$ التي تحقق المعادلة $5x^2 + 9x – 18 = 0$، حيث يكون $x$ أكبر من 0، والتعبير عن الإجابة بصورة كسر مبسط.

لحل هذه المعادلة، سنستخدم القاعدة الشهيرة لحل المعادلات التربيعية، والتي تأخذ الصيغة العامة $ax^2 + bx + c = 0$. في هذه الحالة، $a = 5$، $b = 9$، و $c = -18$.

نستخدم الصيغة التالية للحصول على قيم $x$:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

نقوم بتعويض القيم في المعادلة:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \times 5 \times (-18)}}{2 \times 5}$

نقوم بحساب القيم:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 360}}{10}$
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{441}}{10}$
$x = \frac{-9 \pm 21}{10}$

نحصل على قيمتين لـ $x$:
$x_1 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
$x_2 = \frac{-30}{10} = -3$

وبما أننا نطلب قيمة لـ $x$ تكون أكبر من 0، فإن القيمة المطلوبة هي $x = \frac{6}{5}$.

لنقم بحل المعادلة الرباعية $5x^2 + 9x – 18 = 0$، سنستخدم القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية. تكون هذه القاعدة في الصيغة العامة للمعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c = 0$. في حالتنا، القيم هي: $a = 5$، $b = 9$، و $c = -18$.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية تأتي من الصيغة:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

نقوم بتعويض القيم في المعادلة:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 – 4 \times 5 \times (-18)}}{2 \times 5}$

هنا قمنا باستخدام القاعدة لحل المعادلة التربيعية، والتي تعتمد على تعويض القيم $a$، $b$، و $c$ في الصيغة المعتادة. بعد ذلك، نقوم بحساب القيم للحصول على القيم المحتملة لـ $x$.

الآن، نقوم بتبسيط الجذر التربيعي:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{441}}{10}$

الجذر التربيعي لـ 441 هو 21، لذا:
$x = \frac{-9 \pm 21}{10}$

نحصل على قيمتين لـ $x$:
$x_1 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
$x_2 = \frac{-30}{10} = -3$

وبما أننا نطلب قيمة لـ $x$ تكون أكبر من 0، فإن القيمة المطلوبة هي $x = \frac{6}{5}$.

لحل هذه المسألة، استخدمنا القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية وتطبيق القوانين الجبرية وحساب القيم العددية. العملية كانت تدريجية واستندت إلى القواعد الرياضية المتعارف عليها.