حلاً لتساوي الفوائد بين استثمارات مختلفة

جون يستثمر مبلغًا ماليًا يقدر بـ x بسعر فائدة نصف سنوي ثابت يبلغ 2٪. كما يقوم بإيداع 15,000 دولار بسعر فائدة ربع سنوي ثابت يبلغ 4٪. إذا كانت الفوائد متساوية بعد مرور عام واحد، ما هي قيمة x؟

لحساب قيمة x، يمكننا استخدام صيغة الفائدة المركبة الثابتة. في هذه الحالة، سنستخدم الصيغة التالية:

$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو الرصيد النهائي بعد فترة الاستثمار.
• $P$ هو المبلغ الأصلي المستثمر.
• $r$ هو سعر الفائدة السنوي.
• $n$ هو عدد المرات التي يتم فيها حساب الفائدة في السنة.
• $t$ هو عدد السنوات.

للاستثمار الأول بسعر فائدة نصف سنوي:
$A_1 = x \left(1 + \frac{0.02}{2}\right)^{2 \times 1}$

للاستثمار الثاني بسعر فائدة ربع سنوي:
$A_2 = 15000 \left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^{4 \times 1}$

ونعلم أن $A_1 = A_2$، لذلك:
$x \left(1 + \frac{0.02}{2}\right)^{2 \times 1} = 15000 \left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^{4 \times 1}$

الآن، يمكننا حساب قيمة x بحل المعادلة. بعد الحسابات، يكون الحل:
$x \approx 14925.94$

إذاً، قيمة x هي حوالي 14925.94 دولار.

لحل هذه المسألة، استخدمنا مفهوم الفائدة المركبة وقمنا بتطبيق صيغتها لحساب الرصيد النهائي لكل استثمار. هذا النهج يعتمد على القوانين والمفاهيم التالية:

1. صيغة الفائدة المركبة:
   نستخدم صيغة الفائدة المركبة لحساب الرصيد النهائي $A$ بناءً على المبلغ الأصلي $P$، سعر الفائدة السنوي $r$، عدد المرات التي يتم فيها حساب الفائدة في السنة $n$، وعدد السنوات $t$.
   $A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

2. فرضية المساواة:
   نعتبر أن الرصيدين النهائيين للإستثمارين هما متساويين بعد مرور عام واحد، أي $A_1 = A_2$ حيث $A_1$ هو الرصيد النهائي للاستثمار الأول و$A_2$ هو الرصيد النهائي للاستثمار الثاني.

3. تطبيق الفهم على المشكلة:
   لدينا استثمار أول بسعر فائدة نصف سنوي واستثمار ثاني بسعر فائدة ربع سنوي، ونريد معرفة القيمة $x$ للرصيد الأول بحيث تكون الفوائد متساوية بعد عام.

4. حل المعادلة:
   نقوم بإعداد معادلة بمساواة الرصيدين النهائيين، ونقوم بحلها للعثور على القيمة المجهولة $x$.
   $x \left(1 + \frac{0.02}{2}\right)^{2 \times 1} = 15000 \left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^{4 \times 1}$

5. الحسابات:
   نقوم بحساب القيم الرقمية باستخدام الآلة الحاسبة أو برنامج الحاسوب.
   $x \approx 14925.94$

باستخدام هذه القوانين والخطوات، تم حل المسألة والوصول إلى القيمة المطلوبة للمبلغ $x$ بطريقة دقيقة ومفصلة.