حلاً رياضيًا: قيمة a في تعبير معقد (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

إذا كانت $a > 0$، وإذا كانت $f(g(a)) = 8$، حيث $f(x) = x^2 + 8$ و $g(x) = x^2 – 4$، ما هو قيمة $a$؟

الحل:

نبدأ بتعبير $f(g(a))$:

$f(g(a)) = f(a^2 – 4)$

ثم نستخدم التعبير المعطى لـ $f(x)$:

$f(a^2 – 4) = (a^2 – 4)^2 + 8$

الآن، نقوم بتوسيع التعبير:

$(a^2 – 4)^2 + 8 = a^4 – 8a^2 + 16 + 8$

نقوم بجمع المصطلحين المتشابهين:

$a^4 – 8a^2 + 24$

وبما أننا نعلم أن $f(g(a))$ يساوي 8، فنضع المعادلة التالية:

$a^4 – 8a^2 + 24 = 8$

نقوم بطرح 8 من الجهتين لنحصل على المعادلة التالية:

$a^4 – 8a^2 + 16 = 0$

هذه المعادلة هي في الواقع معادلة من الدرجة الرابعة في $a$، ولحلها، يمكننا استخدام تقنيات العوامل. نقوم بتعبير المعادلة كمربع كامل:

$(a^2 – 4)^2 = 0$

ثم نستخرج الجذر التربيعي للطرفين:

$a^2 – 4 = 0$

نجمع 4 إلى الجهة الأخرى:

$a^2 = 4$

ثم نستخرج الجذر التربيعي مرة أخرى:

$a = \pm 2$

لكن بما أننا علمنا أن $a > 0$، فإن القيمة الممكنة لـ $a$ هي $a = 2$.

إذاً، القيمة الصحيحة لـ $a$ هي 2.

لنقم بتوسيع فهمنا لحل المسألة الرياضية والتأكد من الخطوات والقوانين التي تم استخدامها في الحل.

المسألة الرياضية:
إذا كانت $a > 0$، وإذا كانت $f(g(a)) = 8$، حيث $f(x) = x^2 + 8$ و $g(x) = x^2 – 4$، ما هو قيمة $a$؟

الحل:

1. بدأنا بتعبير $f(g(a))$ وقمنا بتعويض $g(a)$ بتعبيرها:
   $f(g(a)) = f(a^2 – 4)$

2. استخدمنا التعبير المعطى لـ $f(x)$ وقمنا بتوسيعه:
   $f(a^2 – 4) = (a^2 – 4)^2 + 8$

3. نوسع التعبير:
   $(a^2 – 4)^2 + 8 = a^4 – 8a^2 + 16 + 8$

4. جمعنا المصطلحين المتشابهين:
   $a^4 – 8a^2 + 24$

5. وضعنا المعادلة النهائية وأعطينا قيمة $f(g(a))$:
   $a^4 – 8a^2 + 24 = 8$

6. طرحنا 8 من الجهتين للحصول على المعادلة:
   $a^4 – 8a^2 + 16 = 0$

7. قمنا بتحويل المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية بإضافة مربع كامل:
   $(a^2 – 4)^2 = 0$

8. نقوم باستخراج الجذر التربيعي للطرفين:
   $a^2 – 4 = 0$

9. جمعنا 4 إلى الجهة الأخرى:
   $a^2 = 4$

10. استخرجنا الجذر التربيعي:
    $a = \pm 2$

11. تم استبعاد $a = -2$ بناءً على الشرط $a > 0$.

إذاً، القيمة الصحيحة لـ $a$ هي 2.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون العمليات الأساسية: استخدمنا الجمع والطرح لتوسيع التعابير وحساب القيم.

2. قوانين التعويض والتوسيع: قمنا بتعويض قيمة $g(a)$ في معادلة $f(x)$ وقمنا بتوسيع التعابير.

3. قانون الجمع والطرح للأسس: قمنا بتوسيع التعبير باستخدام قوانين الأسس.

4. تحويل المعادلة: قمنا بتحويل المعادلة إلى شكل قابل للحل عن طريق إضافة مربع كامل.

5. استخدام الجذور: قمنا باستخدام جذرين متشابهين للتوصل إلى الحل النهائي.

6. التحقق من الشروط: تحققنا من شرط $a > 0$ لاستبعاد القيمة $a = -2$.