حلاً رياضيًا: البحث عن قيمة x (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
اذا كانت الدالتان $g$ و $f$ تتمتعان بالخاصية التالية: $g(x)=3f^{-1}(x)$ و $f(x)=\frac{24}{x+3}$، فما هو القيمة التي يكون فيها $g(x)$ يساوي $15$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، سنتبع الخطوات التالية:

1. نجد الدالة العكسية للدالة $f$. لنفعل ذلك، نقوم بحل المعادلة $f(x) = y$ بالنسبة لـ $x$ للعثور على $f^{-1}(y)$.

\begin{align*}
y &= \frac{24}{x + 3} \
x + 3 &= \frac{24}{y} \
x &= \frac{24}{y} – 3
\end{align*}

لذا، $f^{-1}(y) = \frac{24}{y} – 3$.

2. الآن، نستخدم العلاقة الأولى: $g(x) = 3f^{-1}(x)$.
   \begin{align*}
   g(x) &= 3f^{-1}(x) \
   &= 3\left(\frac{24}{x} – 3\right)
   \end{align*}

3. نضع القيمة المعطاة $g(x) = 15$ ونحل للجهة اليمنى:
   \begin{align*}
   15 &= 3\left(\frac{24}{x} – 3\right) \
   5 &= \frac{24}{x} – 3 \
   8 &= \frac{24}{x} \
   x &= 3
   \end{align*}

إذا كانت القيمة التي تجعل $g(x)$ تساوي $15$ هي $x = 3$.

بالتأكيد، سنقوم بتوسيع الحل والتركيز على الخطوات بالتفصيل مع الإشارة إلى القوانين المستخدمة.

المسألة:
إذا كانت الدوال $g$ و $f$ تتبع العلاقة $g(x) = 3f^{-1}(x)$ و $f(x) = \frac{24}{x+3}$، فما هي القيمة التي يكون فيها $g(x)$ تساوي $15$؟

الحل:

1. البحث عن الدالة العكسية لـ $f$:
   نعلم أن $f(x) = \frac{24}{x + 3}$، لنجد الدالة العكسية $f^{-1}(x)$، نقوم بتبديل $f(x)$ بـ $y$ ونحل للحصول على $x$:

   $y = \frac{24}{x + 3}$

   نقوم بتبديل $y$ بـ $x$:

   $x + 3 = \frac{24}{y}$

   نحل للحصول على $x$:

   $x = \frac{24}{y} – 3$

   لذا، الدالة العكسية $f^{-1}(y)$ هي:

   $f^{-1}(y) = \frac{24}{y} – 3$

2. استخدام العلاقة بين $g$ و $f^{-1}$:
   نعلم أن $g(x) = 3f^{-1}(x)$، لنستبدل $f^{-1}(x)$ بالتعبير الذي حصلنا عليه:

   $g(x) = 3\left(\frac{24}{x} – 3\right)$

3. حل المعادلة للعثور على $x$:
   نواجه المعادلة $g(x) = 15$:

   $15 = 3\left(\frac{24}{x} – 3\right)$

   نبسط العبارة:

   $5 = \frac{24}{x} – 3$

   نجمع $3$ على الجانبين:

   $8 = \frac{24}{x}$

   نضرب في $x$ ونحل للحصول على القيمة النهائية:

   $x = 3$

القوانين المستخدمة:

1. البحث عن الدالة العكسية:

   • قاعدة أساسية تقول إذا كانت $f(a) = b$، فإن $f^{-1}(b) = a$.

2. استخدام العلاقة بين الدوال:

   • إذا كانت $g(x) = 3f^{-1}(x)$، يمكن استبدال $f^{-1}(x)$ بالتعبير الذي يمثله.

3. حل المعادلات:

   • استخدام العمليات الحسابية الأساسية لحل المعادلات، مثل جمع وضرب الأطراف للوصول إلى القيمة المطلوبة.