حلاً رياضياً: تفاصيل حسابية لدوال معادلات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

الحل:
لحساب قيم الثوابت A، B، C، و D وبالتالي العثور على المجموع النهائي لقيمها، يمكننا أولاً إيجاد التعبير الموحد للدالتين وتسوية القسمة.

نبدأ بوضع الدالتين معًا:

ثم نقوم بضرب كل جهة في $(x + 2)$ لتسهيل الحسابات:

الآن، نقوم بتوسيع الجهة اليسرى وتجميع الأمثلة:

لكون هذا المعادلة صحيحة لجميع القيم من $x$، يجب أن تكون معاملات الأمثلة المتقابلة متساوية:

بحل هذا النظام من المعادلات، نجد أن $A = 1$، $B = 3$، $C = 9$، وبالتالي يمكننا استنتاج أن $D = -1$.

الآن، يمكننا حساب المجموع المطلوب:

إذاً، المجموع المطلوب هو 12.

بالطبع، دعونا نستكمل بعض التفاصيل لحل هذه المسألة. سنقوم بالتركيز على الخطوات التي اتخذناها لحل المعادلة والقوانين التي تمثلت فيها.

1. وضع الدالتين معًا:
   $Ax^2 + Bx + C = \frac{x^3 + 8x^2 + 21x + 18}{x + 2}$

2. ضرب كل جهة في $(x + 2)$:
   $(x + 2)(Ax^2 + Bx + C) = x^3 + 8x^2 + 21x + 18$

3. توسيع وتجميع:
   $Ax^3 + (A + 2B)x^2 + (2A + B + 2C)x + 2C = x^3 + 8x^2 + 21x + 18$

4. معاملات متساوية:
   $A = 1, \quad A + 2B = 8, \quad 2A + B + 2C = 21, \quad 2C = 18$

5. حل النظام من المعادلات:
   $A = 1, \quad B = 3, \quad C = 9, \quad D = -1$

6. حساب المجموع المطلوب:
   $A + B + C + D = 1 + 3 + 9 + (-1) = 12$

القوانين المستخدمة:

• قانون تكامل الدوال الأمثلة:
  في الخطوة 2، استخدمنا تكامل الدوال الأمثلة لضرب $(x + 2)$ في $(Ax^2 + Bx + C)$.

• المساواة في المعاملات:
  في الخطوة 4، استخدمنا مبدأ المعاملات المتساوية، حيث قمنا بمطابقة معاملات الأمثلة المتقابلة لضمان تساوي الدوال.

• قانون الحل للنظام من المعادلات:
  في الخطوة 5، استخدمنا قوانين حل النظام من المعادلات للوصول إلى قيم محددة للمتغيرات (A، B، C، D).

باستخدام هذه القوانين والخطوات، تم حل المسألة والوصول إلى القيم المطلوبة وبالتالي حساب المجموع المطلوب.