حلاً رياضياً: البحث عن أقل قيمة لـ y (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد أقل قيمة للمتغير $y$ التي تحقق المعادلة التالية: $3y^2 + 5y + 2 = 4$.

لحل هذه المعادلة، نقوم بترتيب المعادلة بشكل قياسي:

$3y^2 + 5y + 2 – 4 = 0$

وبعد ذلك، نقوم بتجريب حلول المعادلة. يمكن استخدام العديد من الطرق لحل هذا النوع من المعادلات، ولكن يمكننا استخدام العلاقة التالية:

لمعادلة من الشكل العام $ay^2 + by + c = 0$، يمكن حساب الحلول باستخدام الصيغة التالية:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في حالتنا، لدينا $a = 3$، $b = 5$، و $c = -2$. نستخدم هذه القيم في الصيغة:

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4(3)(-2)}}{2(3)}$

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}$

$y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{6}$

$y = \frac{-5 \pm 7}{6}$

لدينا حلين:

$y_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-5 – 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

وبما أننا نبحث عن أقل قيمة، فإن الحل الأقل هو $y = -2$.

إذاً، أقل قيمة لـ $y$ التي تحقق المعادلة هي $-2$.

لحل المعادلة الرباعية $3y^2 + 5y + 2 – 4 = 0$، نستخدم العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية. سنقوم بتفصيل الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. ترتيب المعادلة:
   نبدأ بترتيب المعادلة بشكل قياسي، حيث نقوم بجمع أو طرح الأعداد على الجانب الأيمن للمعادلة لتكون المعادلة في شكل قياسي $ay^2 + by + c = 0$. في هذه الحالة:
   $3y^2 + 5y + 2 – 4 = 0$
   يتم تجميع الأعداد المستقلة في جهة واحدة:
   $3y^2 + 5y – 2 = 0$

2. استخدام الصيغة العامة لحساب الجذور:
   نستخدم الصيغة العامة لحساب الجذور لمعادلة الدرجة الثانية $ay^2 + by + c = 0$:
   $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

3. تعيين القيم:
   نقوم بتعيين قيم المعاملات في المعادلة:
   $a = 3, \quad b = 5, \quad c = -2$

4. حساب الجذور:
   نقوم بحساب قيم $y$ باستخدام الصيغة:
   $y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4(3)(-2)}}{2(3)}$

5. تبسيط الجذور:
   نقوم بحساب الجذر التربيعي وتبسيط الكسور:
   $y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{6}$
   $y = \frac{-5 \pm 7}{6}$

6. حساب الحلول:
   نحسب القيم الممكنة للـ $y$:
   $y_1 = \frac{1}{3}, \quad y_2 = -2$

7. اختيار الحل الأدنى:
   نختار الحل الذي يحقق أقل قيمة لـ $y$، وفي هذه الحالة هو $y = -2$.

في هذا الحل، استخدمنا مفاهيم الجبر والجذور التربيعية لحل المعادلة. يتمثل الحل الأقل في قيمة $y = -2$، وهذا يظهر كنتيجة لتطبيق الصيغ الرياضية والقوانين المتعلقة بحساب الجذور.