حساب $\sec 135^\circ$: قوانين المثلثات المستخدمة (مسألة رياضيات)

إيجاد قيمة التمام للزاوية 135 درجة وحساب قيمة الدالة الجيبية لها، وذلك باستخدام العلاقات الرياضية الأساسية.

المسألة:

اعثر على قيمة $\sec 135^\circ.$

الحل:

لحساب قيمة $\sec 135^\circ$، يمكننا اللجوء إلى العلاقة الأساسية بين الدوال المثلثية والتي تعبر عن النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الضلع المقابل لها في المثلث. في حالة الدالة الجيبية $\sec \theta$، تكون العلاقة كالتالي:

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

حيث أن $\cos \theta$ يُمثل النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية وطول الوتر في المثلث.

لحساب قيمة $\cos 135^\circ$، نستفيد من خاصية التماثل في الربع الثاني، حيث تكون قيمة الكوساين هي نفس قيمة الكوساين في الربع الأول، ولكن بالتغيير في الإشارة.

في الربع الأول، نعلم أن $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$، لذلك في الربع الثاني، يكون $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

الآن، نستخدم هذه القيمة لحساب $\sec 135^\circ$:

$\sec 135^\circ = \frac{1}{\cos 135^\circ} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

إذاً، قيمة $\sec 135^\circ$ هي $-\sqrt{2}$.

بالطبع، سأوضح الحل بمزيد من التفصيل وسأذكر القوانين المستخدمة.

المسألة:
اعثر على قيمة $\sec 135^\circ.$

الحل:

نحتاج أولاً إلى فهم قيمة الزاوية 135 درجة في الربع الثاني. الزاوية 135 درجة تقع في الربع الثاني حيث تكون قيمة الكوساين هي سالبة. لحساب قيمة $\cos 135^\circ$، نستفيد من خاصية التماثل بين الزوايا في الدائرة الوحدة. في الربع الأول، نعلم أن $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$، ونعلم أيضاً أن الكوساين يكون متناسبًا بالإشارة في الربع الثاني، لذلك:

$\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

الآن، نستخدم هذه القيمة في حساب $\sec 135^\circ$. القاعدة الرئيسية المستخدمة هي علاقة بين الدوال المثلثية:

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

وبالتالي:

$\sec 135^\circ = \frac{1}{\cos 135^\circ} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}}$

نقوم بتبسيط الكسر بضرب البسط والمقام في هذه الحالة بجذر 2:

$-\frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$

لذا، قيمة $\sec 135^\circ$ هي $-\sqrt{2}$.

قوانين المثلثات المستخدمة:

1. تمثل الزوايا في الربع الثاني نفس قيم الدوال المثلثية في الربع الأول، ولكن بتغيير في الإشارة.
2. قاعدة الدوال الجيبية: $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$.

هذه القوانين الأساسية تساعد في فهم العلاقات بين الدوال المثلثية وتحسين عملية حساب قيم الزوايا والدوال المثلثية.