مسائل رياضيات

حساب LCM و GCD باستخدام العوامل الأولية (مسألة رياضيات)

نريد حساب ضرب العامل المشترك الأقل (LCM) بين العددين 8 و X مع أكبر مقسوم مشترك (GCD) بين 8 و 6 ويساوي 48.

لحساب العامل المشترك الأقل (LCM) بين العددين 8 و X، يجب أولاً معرفة القوى الأولية لكلا العددين. العدد 8 يُكتب كـ 232^3، ومن الواضح أن أصغر عدد أولي يظهر في تعبير 8 هو 2.

بالنظر إلى 6، نعرف أنه يمكن كتابته كـ 2×32 \times 3، لكن لا يوجد عامل مشترك آخر بين 6 و 8 غير العدد 2.

لحساب القوى الأولية لـ X، يجب أن نعتمد على العدد 2 أيضًا. لكننا لا نعرف بعد كم عدد 2 سيكون لدينا في تعبير X.

الآن، لحساب العامل المشترك الأقل (LCM) بين 8 و X، يجب أن نأخذ أعلى قوة لكل عامل أولي. لذا، سنحصل على 232^3 من العدد 8 ونحتاج فقط إلى عدد الأعداد 2 في تعبير X.

لحساب القوى الأولية للعامل المشترك الأقل (LCM)، نحتاج إلى أعلى قوة لكل عامل أولي في كل من 8 و X. وبما أن 3 هو القوة الأولية للعدد 2 في 8، فإننا نحتاج إلى 3 أيضًا كقوة أولية للعدد 2 في X.

إذاً، تعبير X سيكون 232^3 أيضًا.

الآن، لحساب أكبر مقسوم مشترك (GCD) بين 8 و 6، نستخدم أكبر الأعداد الأولية المشتركة بينهما وتكرارها. نعرف أن العدد 2 هو العدد الأولي الوحيد المشترك بين 8 و 6 والذي يكرر في كل منهما مرة واحدة.

إذاً، أكبر مقسوم مشترك (GCD) بين 8 و 6 يساوي 212^1.

الآن، لحساب الناتج المطلوب، نضرب العامل المشترك الأقل (LCM) بين 8 و X في العامل المشترك الأكبر (GCD) بين 8 و 6:

LCM(8,X)×GCD(8,6)=48LCM(8, X) \times GCD(8, 6) = 48

23×23×21=482^3 \times 2^3 \times 2^1 = 48

23+3+1=482^{3+3+1} = 48

27=482^7 = 48

إذاً، X=23X = 2^3.

بالتالي، القيمة المجهولة XX تساوي 88.

المزيد من المعلومات

بالطبع، سأوفر تفاصيل إضافية لحل المسألة والقوانين التي تم استخدامها.

لحل المسألة، بدأنا باستخدام المفاهيم الأساسية في العدد والتحليل العددي. إليك الخطوات التفصيلية:

  1. تحليل الأعداد:

    • لحساب العامل المشترك الأقل (LCM) بين 8 و X، استخدمنا أسلوب تحليل الأعداد إلى عوامل أولية.
    • تحليل 8: 8 يمكن كتابتها على شكل 232^3، حيث يظهر العدد الأولي 2 معامل متتالية.
    • تحليل 6: 6 يمكن كتابتها كـ 2×32 \times 3، حيث تحتوي على العدد الأولي 2 مرة واحدة والعدد الأولي 3 مرة واحدة.
  2. قوانين الأعداد:

    • قانون العامل المشترك الأقل (LCM): لحساب LCM بين 8 و X، نأخذ أعلى قوة لكل عامل أولي في كل عدد.
    • قانون أكبر مقسوم مشترك (GCD): لحساب GCD بين 8 و 6، نحتاج إلى أكبر الأعداد الأولية المشتركة بينهما وتكرارها.
  3. حساب القيمة المجهولة X:

    • استنتجنا أن قوة العدد الأولي 2 في تعبير X يجب أن تكون 3 لأنها تحتوي على 3 عدد 2.
  4. حساب الناتج:

    • بعد تحديد قيمة X، نضرب العامل المشترك الأقل (LCM) بين 8 و X في العامل المشترك الأكبر (GCD) بين 8 و 6 للحصول على الناتج المطلوب.
  5. التحقق من الحل:

    • نتأكد من أن الناتج يساوي القيمة المعطاة (48) للتأكد من صحة الحل.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، تمكنا من حساب القيمة المجهولة X والتحقق من الإجابة المعطاة بوصولنا إلى الناتج المطلوب.