حساب $f^{-1}(58)$ باستخدام دالة التكعيب (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

إذا كانت الدالة $f(x)=2x^3+4$، فما هي قيمة $f^{-1}(58)$؟

الحل:

لحساب قيمة $f^{-1}(58)$، يجب أولاً أن نفرض أن $f^{-1}(58) = y$، ومن ثم نبحث عن القيمة المتناظرة لـ $y$ في دالة $f(x)$.

نكتب المعادلة:

$y = 2x^3 + 4$

الآن، نحاول حل هذه المعادلة للعثور على قيمة $x$ المتناظرة. في هذه الحالة، نريد العثور على $x$ عندما يكون $y=58$.

$58 = 2x^3 + 4$

نبدأ بطرح الثابت (4) من الطرفين:

$54 = 2x^3$

ثم نقسم على المعاملة الأمامية (2):

$x^3 = 27$

الآن، نأخذ الجذر الثلاثي للطرفين:

$x = 3$

إذاً، عندما يكون $x=3$ في الدالة الأصلية، سيكون $f(3) = 2(3)^3 + 4 = 58$.

لذا، $f^{-1}(58) = 3$.

لحل المسألة، بدأنا بفرض أن $f^{-1}(58) = y$ وكتابة المعادلة الخاصة بالدالة العكسية، والتي هي $y = 2x^3 + 4$.

ثم قمنا بحل المعادلة للعثور على قيمة $x$ التي تتناسب مع $f^{-1}(58)$. الخطوات التي اتخذناها تتبع القوانين الرياضية التالية:

1. فرضية المتغير (Let Statement): بدأنا بفرض أن $f^{-1}(58) = y$، حيث أن $y$ هو القيمة التي نريد حسابها.

2. كتابة المعادلة الوظيفية: كتبنا المعادلة الخاصة بالدالة $f(x)$، والتي هي $y = 2x^3 + 4$.

3. تحديد قيمة $y$: قمنا بتحديد قيمة $y$ المطلوبة، وهي $y=58$ في هذه الحالة.

4. حل المعادلة: قمنا بحل المعادلة $58 = 2x^3 + 4$ للعثور على قيمة $x$ المتناسبة.

5. العمليات الرياضية: استخدمنا العمليات الرياضية الأساسية، مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة، لتبسيط المعادلة والوصول إلى الحل.

6. الجذور: قمنا بحساب الجذر الثلاثي للعثور على قيمة $x$.

7. التحقق: قمنا بالتحقق من الحل عن طريق استخدام قيمة $x$ في الدالة الأصلية للتأكد من أنها تفي بالشرط المطلوب، وهو $f(x) = 58$.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، تمكنا من حل المسألة والوصول إلى الإجابة النهائية، وهي $f^{-1}(58) = 3$.