حساب نقاط التقاطع والمسافة بينها في المائة (مسألة رياضيات)

المعادلة $y = 3$ تتقاطع مع منحنى المعادلة $y = 4x^2 + x – 1$ في نقطتين تمثلهما $A$ و $B$. يمكن تعبير المسافة بين نقطتي $A$ و $B$ على شكل $\frac{\sqrt{m}}{n}$، حيث $m$ و $n$ هما أعداد صحيحة إيجابية لا تشترك في أي عوامل غير الواحد. دعنا نحسب قيمة $m – n$.

لحساب نقاط التقاطع، نقوم بوضع المعادلتين معًا ونحل للقيمة $x$:

$4x^2 + x – 1 = 3$

نقوم بطرح $3$ من الطرفين:

$4x^2 + x – 4 = 0$

الآن، نحتاج إلى حساب الجذرين باستخدام الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الثانية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 4$، $b = 1$، و $c = -4$. نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 64}}{8}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{8}$

لذا، النقطتين $A$ و $B$ تمثلهما الإحداثيات:

$A: \left(\frac{-1 + \sqrt{65}}{8}, 3\right)$

$B: \left(\frac{-1 – \sqrt{65}}{8}, 3\right)$

الآن، لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء، نستخدم الصيغة:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما إحداثيات النقطتين. في حالتنا:

$d = \sqrt{\left(\frac{-1 – \sqrt{65}}{8} – \frac{-1 + \sqrt{65}}{8}\right)^2 + (3 – 3)^2}$

$d = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{65}}{4}\right)^2}$

$d = \frac{\sqrt{65}}{4}$

إذًا، قيمة $m – n$ تكون:

$m – n = 65 – 4 = 61$

لحل المسألة، سنبدأ بحساب نقاط التقاطع بين المستقيم $y = 3$ والمنحنى $y = 4x^2 + x – 1$. نحسب ذلك بوضع القيمتين معًا وحل المعادلة:

$4x^2 + x – 1 = 3$

ثم نقوم بترتيب المعادلة لتكون في شكل قياسي للمعادلة التربيعية:

$4x^2 + x – 4 = 0$

ونستخدم الصيغة العامة لحساب الجذور:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث $a = 4$، $b = 1$، و $c = -4$. نستبدل القيم:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 64}}{8}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{8}$

لذا، نقاط التقاطع تكون:

$A: \left(\frac{-1 + \sqrt{65}}{8}, 3\right)$

$B: \left(\frac{-1 – \sqrt{65}}{8}, 3\right)$

ثم نقوم بحساب المسافة بين نقطتين باستخدام الصيغة البسيطة للمسافة بين نقطتين في الفضاء:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما إحداثيات النقطتين. في حالتنا:

$d = \sqrt{\left(\frac{-1 – \sqrt{65}}{8} – \frac{-1 + \sqrt{65}}{8}\right)^2 + (3 – 3)^2}$

$d = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{65}}{4}\right)^2}$

$d = \frac{\sqrt{65}}{4}$

قوانين تم استخدامها في الحل:

1. حساب نقاط التقاطع: تم استخدام قانون حل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة العامة للجذور.

2. حساب المسافة بين نقطتين: تم استخدام قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء باستخدام الصيغة $\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$.

باستخدام هذه القوانين، تم حساب المسافة بين نقطتين التي تمثل نقاط التقاطع، والتي تكون الإجابة النهائية $\frac{\sqrt{65}}{4}$، وبالتالي قيمة $m – n$ هي 61.