حساب نسبة مساحات مثلثين متشابهين

نُعطى نقاطًا A و B و C بإحداثيات (2,0)، (8,12)، و (14,0) على التوالي. بينما تمتلك النقاط X و Y و Z إحداثيات (6,0)، (8,4)، و (10,0) على التوالي. نرغب في حساب النسبة المئوية للمساحة التي تحتلها مثلث XYZ مقارنة بمثلث ABC.

لحساب المساحة، نحتاج إلى الاستعانة بقاعدة هيرُون لمثلث ABC و XYZ. قاعدة هيرُون تُستخدم لحساب المساحة بناءً على أطوال الأضلاع. تُعطى القاعدة كالتالي:

$\text{مساحة المثلث} = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}$

حيث $s$ هو نصف مجموع أطوال الأضلاع، و $a$ و $b$ و $c$ هي طول الأضلع.

للمثلث ABC:
$s_{ABC} = \frac{AB + BC + CA}{2}$
$s_{ABC} = \frac{10 + 14 + 10}{2} = 17$

ثم نستخدم هذه القيم في قاعدة هيرُون:
$\text{مساحة ABC} = \sqrt{17 \cdot (17-10) \cdot (17-14) \cdot (17-10)} = \sqrt{17 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 7} = \sqrt{14217}$

بنفس الطريقة، للمثلث XYZ:
$s_{XYZ} = \frac{XY + YZ + ZX}{2}$
$s_{XYZ} = \frac{2 + 4 + 4}{2} = 5$

$\text{مساحة XYZ} = \sqrt{5 \cdot (5-2) \cdot (5-4) \cdot (5-4)} = \sqrt{15}$

الآن، لحساب النسبة المئوية $c$:
$c = \frac{\text{مساحة XYZ}}{\text{مساحة ABC}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{14217}}$

لتبسيط الكسر، نقوم بضرب الكسر في الكسر المتشابه:
$c = \frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{14217}}{\sqrt{14217} \cdot \sqrt{14217}}$
$c = \frac{\sqrt{213255}}{14217}$

وهكذا، تمثل النسبة المئوية للمساحة التي تحتلها مثلث XYZ مقارنة بمثلث ABC الكسر:
$c = \frac{\sqrt{213255}}{14217}$

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين الهندسة الرياضية، بما في ذلك قاعدة هيرُون لحساب مساحة المثلث ومفهوم المثلثات المتشابهة. سنتبع الخطوات التالية:

1. حساب أطوال الأضلاع:

   • لمثلث ABC: يُعطى النقاط A و B و C بإحداثيات (2,0)، (8,12)، و (14,0) على التوالي. نستخدم معادلة المسافة بين نقطتين لحساب طول كل ضلع.
   • لمثلث XYZ: يُعطى النقاط X و Y و Z بإحداثيات (6,0)، (8,4)، و (10,0) على التوالي. نستخدم نفس الطريقة لحساب طول كل ضلع.

2. حساب نصف مجموع أطوال الأضلاع:

   • لمثلث ABC: يستخدم نصف مجموع أطوال الأضلاع في قاعدة هيرُون.
   • لمثلث XYZ: نفعل نفس الشيء.

3. استخدام قاعدة هيرُون لحساب المساحة:

   • لمثلث ABC: نحسب نصف مجموع أطوال الأضلاع ونستخدمه في قاعدة هيرُون لحساب المساحة.
   • لمثلث XYZ: نفعل نفس الشيء.

4. حساب النسبة:

   • بمجرد حساب مساحتي المثلث ABC و XYZ، نقوم بحساب النسبة $c$ بينهما.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة هيرُون: $\text{مساحة المثلث} = \sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}$
• معادلة المسافة بين نقطتين: $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
• مفهوم المثلثات المتشابهة: إذا كانت نسب طول الأضلاع في مثلثين متشابهين متساوية، فإن نسب مساحتيهما متساوية.

بتطبيق هذه القوانين، يمكننا حساب النسبة المئوية للمساحة بين المثلثين.