حساب نسبة القطرين في مكعب (مسألة رياضيات)

نعتبر مكعبًا له أضلاع بنسبة 9:7. يُطلب منا حساب نسبة القطرين لهذين المكعبين.

لنحل هذه المسألة، نعتبر الطول الفعلي للضلعين في النسبة هو 9x و7x، حيث “x” هو العامل المشترك بين النسبتين.

بما أن القطر يمثل الجزء الذي يربط طرفي الشكل الهندسي ويمر عبر مركزه، يمكننا استخدام مبدأ فيثاغورس لحساب القطر في المكعب. في المثلث القائم الزاوي داخل المكعب، يكون القطر (d) هو جذر مربعي الجمع بين مربعي طول الضلع (a) وارتفاع المثلث (h).

القاعدة الرياضية هي:
$d^2 = a^2 + h^2$

في المكعب، الارتفاع (h) يكون نفس طول الضلع لأن المثلث داخل المكعب هو مثلث قائم الزاوية. لذلك، يمكننا كتابة العلاقة على النحو التالي:
$d^2 = a^2 + a^2$

الآن، نقوم بتعويض قيمة الضلع بالعبارة الجديدة ونحسب قيمة القطر.

$d^2 = (9x)^2 + (9x)^2$

$d^2 = 81x^2 + 81x^2$

$d^2 = 162x^2$

الآن، نأخذ الجذر التربيعي للحصول على قيمة القطر:
$d = \sqrt{162x^2}$

المرحلة التالية هي تبسيط الجذر:
$d = \sqrt{81 \times 2 \times x^2}$

$d = 9 \sqrt{2} \times x$

الآن، نحن نعلم أن النسبة بين أضلاع المكعب هي 9:7، لذلك:
$9x : 7x$

النسبة بين القطرين (d₁ وd₂) ستكون أيضا بنفس النسبة:
$9 \sqrt{2} \times x : 7 \sqrt{2} \times x$

بإمكاننا تبسيط هذه النسبة بالقسمة على $\sqrt{2} \times x$ للحصول على النسبة النهائية:

$9 : 7$

لذا، النسبة بين القطرين هي 9:7.

بالطبع، سأقدم لك تفاصيل أكثر لحل هذه المسألة وأذكر القوانين والمفاهيم التي تم استخدامها في الحل.

القوانين المستخدمة:

1. قانون فيثاغورس: في المثلث القائم الزاوي، يتمثل هذا القانون في العلاقة التالية: $c^2 = a^2 + b^2$، حيث “c” هو الوتر (القطر في حالة المكعب)، و “a” و “b” هما أطوال الأضلاع الأخرى.

2. تطبيق قانون فيثاغورس على المكعب: في هذه المسألة، استخدمنا قانون فيثاغورس على المثلث القائم الزاوي داخل المكعب، حيث أخذنا طول الضلع كطول الضلعين في المثلث.

الحل:

نعلم أن النسبة بين أضلاع المكعب هي 9:7. لنفترض أن الطول الفعلي للضلعين هو $9x$ و $7x$ على التوالي.

1. حساب طول الوتر (القطر) في المكعب:

   • استخدمنا قانون فيثاغورس على المثلث القائم الزاوي داخل المكعب.
   • حسبنا القطر $d$ باستخدام العلاقة: $d^2 = a^2 + a^2$ حيث $a$ هو الضلع.

2. تبسيط العبارة:

   • بعد استخدام قانون فيثاغورس، حصلنا على عبارة للقطر في صورة $d = 9\sqrt{2} \times x$.

3. حساب النسبة بين القطرين:

   • نظرًا لأن النسبة بين الأضلاع هي 9:7، فإن النسبة بين القطرين ستكون نفس النسبة.
   • حسبنا النسبة بين القطرين وجدنا أنها 9:7.

4. تأكيد الإجابة:

   • تأكدنا من الإجابة بالتأكيد بعد تبسيط النسبة والتحقق من أنها تتوافق مع النسبة الأصلية بين أضلاع المكعب.

بهذا الشكل، تم استخدام قانون فيثاغورس في سياق المكعب لحساب النسبة بين قطريه.