حساب منتصف القطعة في النظام المستطيلي (مسألة رياضيات)

نُعطى نقاط $B(1, 1)$، $I(2, 4)$، و $G(5, 1)$ في النظام المعتاد المستطيلي للإحداثيات. يتم تحويل مثلث $BIG$ خمس وحدات إلى اليسار ووحدتين لأعلى ليتكون مثلث $B’I’G’$. في هذا التحويل، $B’$ هي صورة $B$، $I’$ هي صورة $I$، و $G’$ هي صورة $G$. ما هو منتصف القطعة $B’G’$، معربًا عنها كزوج مرتب؟

حل المسألة:

لنحسب أولاً إحداثيات نقاط $B’$ و $G’$ بناءً على التحويل المعطى.

نقطة $B$ تحركت خمس وحدات إلى اليسار ووحدتين لأعلى. لذا، إحداثيات $B’$ هي:
$B'(1 – 5, 1 + 2) = B'(-4, 3).$

بنفس الطريقة، نقطة $G$ تحركت خمس وحدات إلى اليسار ووحدتين لأعلى، لذا إحداثيات $G’$ هي:
$G'(5 – 5, 1 + 2) = G'(0, 3).$

الآن، نحتاج إلى حساب منتصف القطعة $B’G’$. يُعطى منتصف القطعة بالإحداثيات:
$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right),$
حيث $x_1$ و $y_1$ هي إحداثيات النقطة الأولى، و $x_2$ و $y_2$ هي إحداثيات النقطة الثانية.

بالتطبيق هنا، لدينا:
$x_1 = -4, \quad y_1 = 3, \quad x_2 = 0, \quad y_2 = 3.$

إذاً، منتصف القطعة $B’G’$ هو:
$\left(\frac{-4 + 0}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}, \frac{6}{2}\right) = (-2, 3).$

إذاً، إحداثيات منتصف القطعة $B’G’$ هي $(-2, 3)$.

لحل المسألة، نستخدم قوانين الحركة في النظام المستطيلي للإحداثيات وقانون منتصف القطعة.

1. قانون الحركة في النظام المستطيلي للإحداثيات:

   • عند تحريك نقطة في النظام المستطيلي للإحداثيات، نقوم بتغيير إحداثياتها بمقدار التحرك في كل اتجاه.
   • عند التحرك إلى اليسار، نقوم بطرح قيمة المسافة المنقولة من الإحداثيات الأصلية للنقطة.
   • عند التحرك لأعلى، نقوم بإضافة قيمة المسافة المنقولة إلى الإحداثيات الأصلية للنقطة.

2. قانون منتصف القطعة:

   • منتصف القطعة بين نقطتين في النظام المستطيلي للإحداثيات هو النقطة التي تقع في النصف بين إحداثيات النقطتين، سواء في الاتجاه الأفقي أو الرأسي.

الآن، سنستخدم هذه القوانين لحساب إحداثيات نقطة منتصف القطعة $B’G’$.

أولاً، نحسب إحداثيات نقاط $B’$ و $G’$ بالترتيب:

• نقطة $B$ تحركت خمس وحدات إلى اليسار ووحدتين لأعلى، لذا إحداثيات $B’$ هي $(-4, 3)$.
• نقطة $G$ تحركت خمس وحدات إلى اليسار ووحدتين لأعلى، لذا إحداثيات $G’$ هي $(0, 3)$.

ثانيًا، نحسب إحداثيات منتصف القطعة $B’G’$ باستخدام قانون منتصف القطعة:

• لنجد إحداثيات النقطة المتوسطة بين $B’$ و $G’$.
• في الاتجاه الأفقي: نجمع إحداثيات $x$ لكل نقطة ونقسمها على 2: $\frac{-4 + 0}{2} = -2$.
• في الاتجاه الرأسي: نجمع إحداثيات $y$ لكل نقطة ونقسمها على 2: $\frac{3 + 3}{2} = 3$.

بالتالي، إحداثيات نقطة منتصف القطعة $B’G’$ هي $(-2, 3)$.

هذا يشكل الحل الكامل للمسألة بالتفصيل واستخدام القوانين المذكورة أعلاه.