حساب معدل تسرب الماء (مسألة رياضيات)

عندما يتدفق 24 جالون في الثانية من الماء عبر شلال، ونمتلك حوضًا فارغًا يتسع لـ 260 جالون من الماء، ويتسرب الماء من الحوض بمعدل x جالون في الثانية، كم الوقت الذي يستغرقه ملء الحوض بالماء القادم من الشلال؟ لنفترض أن الإجابة على هذا السؤال هي 13 ثانية، فما قيمة المتغير المجهول x؟

لنحسب معدل ملء الحوض بالماء من الشلال. يُعطى أن 24 جالون يتدفقون في الثانية، وبالتالي في ثانية واحدة يتم ملء 24 جالون.

إذاً، في 13 ثانية يتم ملء الحوض بالماء القادم من الشلال. وبما أن سعة الحوض هي 260 جالون، فنقسم سعة الحوض على معدل ملءه لنحصل على الوقت المطلوب لملء الحوض.

260 جالون ÷ 24 جالون/ثانية = 10.8333 ثانية

إذاً، نجد أن الإجابة المقدرة تكون 10.8333 ثانية، وليست 13 ثانية. ولكن إذا كنا نفترض أن الإجابة الصحيحة هي 13 ثانية، يمكننا استخدام ذلك لحساب قيمة x.

لنستخدم العلاقة التالية:
الوقت المستغرق لملء الحوض = السعة ÷ (معدل التدفق – معدل التسرب)

نعوض القيم المعطاة:
13 ثانية = 260 جالون ÷ (24 جالون/ثانية – x جالون/ثانية)

نقوم بحساب القيمة المجهولة x. للقيام بذلك، نقوم بتنظيف المعادلة من القسمة الصفرية:

13 ثانية = 260 جالون ÷ 24 جالون/ثانية – x جالون/ثانية

بعد ذلك، نقوم بضرب كل جانب من النصف الأيسر من المعادلة بمعدل التدفق – معدل التسرب:

13 ثانية × (24 جالون/ثانية – x جالون/ثانية) = 260 جالون

نقوم بتوسيع المعادلة:

312 ثانية – 13x ثانية = 260 جالون

نقوم بطرح 312 ثانية من كل جانب من المعادلة:

312 ثانية – 312 ثانية – 13x ثانية = 260 جالون – 312 ثانية

• 13x ثانية = – 52 جالون

نقوم بقسم كل جانب من المعادلة على -13 للحصول على قيمة x:

( – 13x ثانية ) ÷ ( -13 ) = ( – 52 جالون ) ÷ ( -13 )

x = 4

إذاً، قيمة المتغير المجهول x هي 4 جالون في الثانية.

لحل المسألة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية الأساسية:

1. قانون النسبة المباشرة:
   هذا القانون ينطبق عندما تكون الزيادة في متغير معين متناسبة مع زيادة في متغير آخر. في هذه المسألة، سنستخدم هذا القانون لمعرفة كيفية تغير معدل ملء الحوض مع زيادة أو نقصان في معدل التسرب.

2. قانون العلاقة بين الزمن والمسافة:
   في هذه المسألة، نستخدم مفهوم الزمن لحساب كم الوقت اللازم لملء الحوض بالماء.

3. قانون الجمع والطرح والضرب والقسمة:
   نستخدم هذه العمليات الرياضية الأساسية لحساب النتائج وإجراء العمليات الحسابية المطلوبة.

الآن، سنبدأ بحل المسألة بالتفصيل:

أولاً، نستخدم المعلومات المعطاة:

• معدل تدفق الماء من الشلال هو 24 جالون/ثانية.
• سعة الحوض هي 260 جالون.
• معدل تسرب الماء من الحوض هو x جالون/ثانية.

نريد معرفة كم الوقت اللازم لملء الحوض بالماء، ونعرف أن الإجابة الصحيحة هي 13 ثانية.

الآن، نستخدم قانون النسبة المباشرة لمعرفة كم يأخذ وقت ملء الحوض عندما يكون معدل التسرب x:

العلاقة هي:
$\text{الوقت المستغرق لملء الحوض} = \frac{\text{سعة الحوض}}{\text{معدل التدفق – معدل التسرب}}$

نعوض القيم في المعادلة:
$13 = \frac{260}{24 – x}$

الآن نقوم بحساب القيمة المجهولة x.

نضرب كل جانب من المعادلة بـ $24 – x$ للتخلص من المقام في الكسر:

$13(24 – x) = 260$

نقوم بحساب الناتج:

$312 – 13x = 260$

ننقل $312$ إلى الجهة اليمنى من المعادلة:

$312 – 312 – 13x = 260 – 312$

$-13x = -52$

نقسم الطرفين على -13 للحصول على قيمة x:

$\frac{-13x}{-13} = \frac{-52}{-13}$

$x = 4$

إذاً، قيمة المتغير المجهول x هي 4 جالون في الثانية.