حساب معامل الحد الثاني (مسألة رياضيات)

نريد حساب معامل الحد الثاني ($x^2$) في توسيع عبارة $(ax^3 + 3x^2 – 2x)(bx^2 – 7x – 4)$.

للقيام بذلك، نحتاج إلى ضرب كل عنصر في العبارة الأولى مع كل عنصر في العبارة الثانية، ثم جمع المعاملات المماثلة. لذا، سنبدأ بالضرب:

$(ax^3 + 3x^2 – 2x)(bx^2 – 7x – 4)$

$= ax^3 \cdot bx^2 + ax^3 \cdot (-7x) + ax^3 \cdot (-4) + 3x^2 \cdot bx^2 + 3x^2 \cdot (-7x) + 3x^2 \cdot (-4) – 2x \cdot bx^2 – 2x \cdot (-7x) – 2x \cdot (-4)$

الآن، سنقوم بتبسيط هذه العبارة وجمع المصطلحات المماثلة:

$= abx^5 – 7abx^4 – 4ax^3 + 3bx^4 – 21x^3 – 12x^2 – 2bx^3 + 14x^2 + 8x$

الآن، لحساب المعامل المطلوب، نحتاج إلى تجميع المصطلحات التي تحتوي على $x^2$ فقط. هذه المصطلحات هي: $- 12x^2 + 14x^2$.

إذاً، المعامل النهائي للحد الثاني في التوسيع هو $14x^2 – 12x^2$، مما يساوي $2x^2$.

لذا، الإجابة هي أن معامل الحد الثاني ($x^2$) في التوسيع هو $2$.

لحل المسألة وحساب معامل الحد الثاني ($x^2$) في التوسيع، سنقوم بتطبيق قوانين الجبر وتوسيع العبارات. سنستخدم خواص الضرب والتوزيع لحل هذا السؤال.

العبارة التي نحن بصدد توسيعها هي:
$(ax^3 + 3x^2 – 2x)(bx^2 – 7x – 4)$

سنبدأ بضرب كل عنصر في العبارة الأولى مع كل عنصر في العبارة الثانية، ثم سنجمع المصطلحات المماثلة.

للقيام بذلك، نحتاج إلى تطبيق قاعدة الضرب والتوزيع، حيث نقوم بضرب كل عنصر في العبارة الأولى مع كل عنصر في العبارة الثانية، ومن ثم نجمع المصطلحات المماثلة.

الآن سنقوم بتوسيع العبارة:

1. نضرب $ax^3$ في $(bx^2 – 7x – 4)$:
   $ax^3 \cdot bx^2 = abx^5$
   $ax^3 \cdot (-7x) = -7abx^4$
   $ax^3 \cdot (-4) = -4ax^3$

2. نضرب $3x^2$ في $(bx^2 – 7x – 4)$:
   $3x^2 \cdot bx^2 = 3bx^4$
   $3x^2 \cdot (-7x) = -21x^3$
   $3x^2 \cdot (-4) = -12x^2$

3. نضرب $-2x$ في $(bx^2 – 7x – 4)$:
   $-2x \cdot bx^2 = -2bx^3$
   $-2x \cdot (-7x) = 14x^2$
   $-2x \cdot (-4) = 8x$

الآن، سنجمع المصطلحات المماثلة معًا:

$abx^5 – 7abx^4 – 4ax^3 + 3bx^4 – 21x^3 – 12x^2 – 2bx^3 + 14x^2 + 8x$

المهم هنا أننا نريد الآن حساب المعامل الذي يتضمن $x^2$، إذاً سنقوم بجمع جميع المصطلحات التي تحتوي على $x^2$ معًا، وهي $-12x^2$ و $14x^2$، لذا:

$14x^2 – 12x^2 = 2x^2$

لذا، المعامل النهائي للحد الثاني في التوسيع هو $2$.

القوانين المستخدمة هنا هي:

1. قاعدة الضرب.
2. قاعدة التوزيع.
3. جمع المصطلحات المماثلة.