حساب معامل التحويل للدوران. (مسألة رياضيات)

نريد حساب معامل التحويل (الدوران) للمصفوفة $\mathbf{R}$ التي تمثل دورانًا مضادًا لعقارب الساعة حول الأصل بزاوية $58^\circ$.

للقيام بذلك، سنستخدم المعادلة التالية للمصفوفة $\mathbf{R}$:
$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$
حيث يُمثل $\theta$ الزاوية للدوران، وفي هذه الحالة $\theta = 58^\circ$.

لحساب المحور السرياني، نقوم بتحويل الزاوية من درجة إلى راديان، حيث $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ راديان. لذا، $\theta = 58^\circ \times \frac{\pi}{180} \approx 1.0123$ راديان.

باستخدام القيمة المقدرة للراديان، يمكننا حساب قيمة المصفوفة $\mathbf{R}$:
$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} \cos(1.0123) & -\sin(1.0123) \\ \sin(1.0123) & \cos(1.0123) \end{bmatrix}$

الآن، سنحسب القيم الرقمية للدوال الزائدة والتقوسية لنقوم بإكمال المصفوفة:
$\cos(1.0123) \approx 0.551$
$\sin(1.0123) \approx 0.835$

وبالتالي، نحصل على المصفوفة:
$\mathbf{R} \approx \begin{bmatrix} 0.551 & -0.835 \\ 0.835 & 0.551 \end{bmatrix}$

الآن، سنقوم بحساب المتغير الرئيسي لهذه المصفوفة وهو المحور الذي يمثل المعامل التحويل. سنقوم بذلك باستخدام الصيغة التالية:
$\det(\mathbf{R}) = (\cos(\theta))^2 + (\sin(\theta))^2$
وبما أن $(\cos(\theta))^2 + (\sin(\theta))^2 = 1$ لأي زاوية $\theta$، فإن المعامل التحويل هو 1.

إذاً، المعامل التحويل (الدوران) للمصفوفة $\mathbf{R}$ هو 1.

لحساب معامل التحويل (الدوران) للمصفوفة $\mathbf{R}$ التي تمثل دورانًا مضادًا لعقارب الساعة حول الأصل بزاوية $58^\circ$، سنستخدم المفهوم الرياضي للمصفوفات والدوال المثلثية.

المصفوفة $\mathbf{R}$ للدوران حول الأصل بزاوية $\theta$ تأخذ الشكل التالي:
$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$

حيث تعبر $\cos(\theta)$ عن قيمة الكوساين للزاوية $\theta$ و$\sin(\theta)$ عن قيمة السينا للزاوية $\theta$.

القوانين المستخدمة في الحل هي:

1. معادلة المصفوفة للدوران حول الأصل بزاوية $\theta$.
2. تعريف الكوساين والسينا للزوايا.
3. قاعدة التشابه الهندسي بين المثلثين والدوائر.

أولاً، نحول قيمة الزاوية من درجات إلى راديان باستخدام العلاقة التالية: $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ راديان.

إذاً، $\theta = 58^\circ \times \frac{\pi}{180} \approx 1.0123$ راديان.

ثم، نحسب قيم الكوساين والسينا للزاوية $\theta$ باستخدام دوال الجيب التقريبية.

بعد ذلك، نقوم بتعويض قيم الكوساين والسينا في المصفوفة $\mathbf{R}$ للحصول على المصفوفة النهائية.

وأخيراً، نحسب معامل التحويل (الدوران) باستخدام القاعدة المعروفة في الجبر الخطي التي تقول إن معامل التحويل للدوران هو معامل القوة الوحدة.

بالتالي، المعامل التحويل (الدوران) للمصفوفة $\mathbf{R}$ هو 1.

هذا الحل يعتمد على مفاهيم الجبر الخطي والهندسة الرياضية للدورانات والدوال المثلثية.