حساب مساحة مثلث ABC باستخدام الهندسة الفراغية (مسألة رياضيات)

النقاط A (0، 0)، B (0، 4a – 5)، و C (2a + 1، 2a + 5) تشكل مثلثًا، وإذا كان زاوية ABC تساوي 90 درجة، فما هو مساحة المثلث ABC؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام قاعدة مساحة المثلث الذي يعتمد على قاعدة المستطيل:

$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

حيث القاعدة هي الطول الأفقي بين نقطتين، والارتفاع هو الارتفاع الرأسي من النقطة الثالثة إلى الخط الأفقي المار بين نقطتين.

لحساب القاعدة بين نقطتين، نستخدم الفارق بين إحداثياتهما. على سبيل المثال، قاعدة بين A و B هي $4a – 5 – 0 = 4a – 5$، وقاعدة بين B و C هي $2a + 1 – 0 = 2a + 1$، وقاعدة بين C و A هي $0 – (2a + 1) = -2a – 1$.

الآن نحتاج إلى حساب الارتفاع. إذا كان الزاوية ABC تساوي 90 درجة، فإن الارتفاع يكون هو الفارق الرأسي بين النقطة الثالثة والخط الذي يربط نقطتين. على سبيل المثال، الارتفاع بين A و الخط BC هو الفارق الرأسي بين نقطة A والخط BC، وهو $2a + 5 – 0 = 2a + 5$، وهكذا نفعل للنقاط الأخرى.

الآن نستخدم هذه القيم في صيغة مساحة المثلث:

$\text{مساحة المثلث ABC} = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة AB} \times \text{ارتفاع AC}$

$= \frac{1}{2} \times (4a – 5) \times (2a + 5)$

$= 2a^2 + 5a – \frac{25}{2}$

إذاً، مساحة المثلث ABC تكون $2a^2 + 5a – \frac{25}{2}$.

لحل مسألة مساحة المثلث ABC، سنستخدم قاعدة مساحة المثلث ونعتمد على قوانين الهندسة الفراغية. سنستخدم القاعدة التالية:

$\text{مساحة المثلث} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

حيث:

• القاعدة هي الجزء الأفقي بين نقطتين.
• الارتفاع هو الجزء الرأسي من النقطة الثالثة إلى القاعدة.

في هذه المسألة:

1. قاعدة AB: يتم حسابها بطرح الإحداثيات الرأسية للنقطتين B و A، وهي $(4a – 5) – 0 = 4a – 5$.
2. قاعدة BC: يتم حسابها بجمع الإحداثيات الأفقية للنقطتين B و C، وهي $(2a + 1) – 0 = 2a + 1$.
3. قاعدة CA: يتم حسابها بطرح الإحداثيات الأفقية للنقطتين C و A، وهي $0 – (2a + 1) = -2a – 1$.

ثم نقوم بحساب الأرتفاع، وهو الفارق الرأسي بين النقطة الثالثة والخط الذي يربط نقطتين:

1. ارتفاع AC: يتم حسابه بجمع الإحداثيات الرأسية للنقطتين C و A، وهو $(2a + 5) – 0 = 2a + 5$.
2. ارتفاع BA: يتم حسابه بطرح الإحداثيات الرأسية للنقطتين B و A، وهو $(4a – 5) – 0 = 4a – 5$.
3. ارتفاع CB: يتم حسابه بجمع الإحداثيات الرأسية للنقطتين C و B، وهو $(2a + 5) – (4a – 5) = -2a + 10$.

الآن نقوم بتطبيق هذه القيم في قاعدة مساحة المثلث:

$\text{مساحة المثلث ABC} = \frac{1}{2} \times \text{قاعدة AB} \times \text{ارتفاع AC}$

$= \frac{1}{2} \times (4a – 5) \times (2a + 5)$

$= 2a^2 + 5a – \frac{25}{2}$

تم استخدام قوانين الهندسة الفراغية والجبر في هذا الحل لحساب القواعد والأرتفاعات، ومن ثم تم استخدام هذه القيم في قاعدة مساحة المثلث.