حساب مساحة دائرة من محيطها (مسألة رياضيات)

نعلم أن محيط الدائرة يُعطى بالعلاقة التالية:
$C = 2\pi r$

حيث أن $C$ هو محيط الدائرة، و $r$ هو شعر الدائرة.

نُوجد قيمة $r$ باستخدام العلاقة المعطاة:
$r = \frac{C}{2\pi}$

وضعنا قيمة المحيط $C = 18$ سم في العلاقة للحصول على قيمة $r$:
$r = \frac{18}{2\pi}$

لحساب مساحة الدائرة، نستخدم العلاقة:
$A = \pi r^2$

نعوض قيمة $r$ التي حسبناها:
$A = \pi \left(\frac{18}{2\pi}\right)^2$

$A = \pi \left(\frac{18^2}{(2\pi)^2}\right)$

$A = \pi \left(\frac{18^2}{4\pi^2}\right)$

$A = \pi \left(\frac{324}{4\pi^2}\right)$

$A = \frac{324\pi}{4\pi^2}$

$A = \frac{81}{\pi}$

لذا، مساحة الدائرة هي $\frac{81}{\pi}$ سم$^2$.

في هذه المسألة، نُطلب حساب مساحة دائرة معينة عندما يعلم محيطها. نحتاج إلى استخدام العلاقات الهندسية الأساسية للدوائر.

القانون الأول الذي نحتاجه هو علاقة العمق مع المحيط للدائرة، وهي:
$C = 2\pi r$
حيث $C$ هو محيط الدائرة، و $r$ هو شعر الدائرة.

بمعرفة محيط الدائرة $C$، يمكننا حساب قيمة $r$ باستخدام هذه العلاقة. بمجرد حساب $r$، نستخدم القانون الثاني للدائرة لحساب مساحتها، وهو:
$A = \pi r^2$

لنقوم بتطبيق القوانين على المسألة المعطاة:

1. المحيط $C$ معطى وهو 18 سم.
2. نستخدم العلاقة $C = 2\pi r$ لحساب $r$.
3. بعد الحصول على $r$، نستخدم العلاقة $A = \pi r^2$ لحساب مساحة الدائرة.

الآن، لنقوم بالحساب:

1. استخدام القانون الأول:
   $C = 2\pi r$
   $18 = 2\pi r$
   $r = \frac{18}{2\pi}$

2. حساب $r$:
   $r = \frac{18}{2\pi}$

3. استخدام القانون الثاني:
   $A = \pi r^2$
   $A = \pi \left(\frac{18}{2\pi}\right)^2$
   $A = \pi \left(\frac{18^2}{(2\pi)^2}\right)$
   $A = \pi \left(\frac{324}{4\pi^2}\right)$
   $A = \frac{324\pi}{4\pi^2}$
   $A = \frac{81}{\pi}$

وهكذا، تم حساب مساحة الدائرة بالنسبة للقطر المعطى.