حساب مساحة دائرة بناءً على الشعاع (مسألة رياضيات)

نريد حساب عدد الوحدات في مساحة الدائرة التي لها مركز في نقطة $P$ وتمر عبر نقطة $Q$.

لحساب مساحة الدائرة، نحتاج إلى معرفة نصف قطرها. النقطة $P$ هي مركز الدائرة، ونقطة $Q$ تقع على حد الدائرة. لذا، الشعاع (أو النصف القطر) يكون المسافة بين $P$ و $Q$.

لحساب مسافة بين نقطتين في الإحداثيات، نستخدم مسافة نقطتين الصيغة:
$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث $d$ هو المسافة بين النقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$.

في هذه الحالة، إذا كانت إحداثيات نقطة $P$ هي $(-3, 4)$ وإحداثيات نقطة $Q$ هي $(9, -3)$، يمكننا حساب المسافة بينهما كالتالي:

$d = \sqrt{(9 – (-3))^2 + ((-3) – 4)^2}$
$d = \sqrt{(9 + 3)^2 + (-3 – 4)^2}$
$d = \sqrt{(12)^2 + (-7)^2}$
$d = \sqrt{144 + 49}$
$d = \sqrt{193}$

لذا، الشعاع (أو النصف القطر) للدائرة هو $\sqrt{193}$.

الآن، يمكننا حساب مساحة الدائرة باستخدام الصيغة التالية:
$A = \pi r^2$

حيث $A$ هي المساحة و $r$ هو النصف القطر.

لذا، مساحة الدائرة هي:
$A = \pi (\sqrt{193})^2$
$A = \pi (193)$
$A = 193\pi$

إذا، عدد الوحدات في مساحة الدائرة هو $193\pi$.

لحل المسألة وحساب عدد الوحدات في مساحة الدائرة، نحتاج إلى فهم العلاقة بين موقع مركز الدائرة والنقطة التي تمر عبرها. في هذه الحالة، نقطة $P$ هي مركز الدائرة ونقطة $Q$ تقع على حد الدائرة.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل:

1. مسافة بين نقطتين في الإحداثيات:
   نستخدم معادلة المسافة بين نقطتين في الإحداثيات لحساب المسافة بين نقطتين معطاة. إذا كانت إحداثيات نقطتين هي $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$، فإن المسافة بينهما تكون:
   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

2. مساحة الدائرة:
   مساحة الدائرة تحسب باستخدام الصيغة:
   $A = \pi r^2$
   حيث $A$ هي مساحة الدائرة، و $r$ هو النصف القطر.

الآن، بالنظر إلى الحل:

أولاً، نستخدم معادلة المسافة بين نقطتين لحساب الشعاع (النصف القطر) للدائرة. نقوم بذلك بحساب المسافة بين نقطة $P$ ونقطة $Q$، التي تكون الشعاع الذي يمثل مسافة من مركز الدائرة $P$ إلى حافة الدائرة $Q$. هذا يعني أننا نستخدم نقطتين معطاة $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$.

ثم، بمجرد أن نحصل على الشعاع، نستخدم الصيغة لحساب مساحة الدائرة باستخدام قيمة الشعاع التي حسبناها.

في الحالة الحالية، العلاقة بين نقطتي $P$ و $Q$ تُمثل الشعاع، ونحن نحتاج إلى استخدام معادلة المسافة لحساب الشعاع، ثم استخدام الصيغة لحساب مساحة الدائرة بناءً على هذا الشعاع.

هذا النوع من المسائل يدعو إلى استخدام المفاهيم الجبرية والهندسية في الحسابات الرياضية، مما يتيح فهمًا أعمق لعلاقات الأشكال الهندسية وكيفية حساب مساحتها وأبعادها.