حساب مساحة التحويلات الخطية (مسألة رياضيات)

نعطى منطقة في السطح تمتلك مساحة تعادل 10 ونطبق عليها المصفوفة $\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 7 & -3 \end{pmatrix}$ لتتحول إلى المنطقة $S’$. السؤال يطلب حساب مساحة $S’$ بعد التحويل.

لحساب المساحة بعد التحويل، يتوجب علينا حساب م determinate للمصفوفة $\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 7 & -3 \end{pmatrix}$، الذي يساوي $2*(-3) – 1*7 = -6 – 7 = -13$.

بما أن determinate للمصفوفة غير صفري، فإن التحويل الذي قمنا به غير مشوه للمنطقة، وبالتالي نستطيع حساب مساحة $S’$ باستخدام القانون التالي:

إذا كانت $A$ مساحة المنطقة الأصلية وكان $|\text{determinate}|$ قيمة determinate للمصفوفة المستخدمة في التحويل، فإن مساحة المنطقة بعد التحويل تساوي $\frac{|determinate|}{|determinate|} * A$.

في حالتنا، نحصل على المساحة كالتالي:

مساحة $S’ = \frac{|-13|}{|-13|} * 10 = \frac{13}{13} * 10 = 10$.

لذلك، مساحة المنطقة $S’$ بعد التحويل تساوي 10.

لحل المسألة وحساب مساحة المنطقة $S’$ بعد التحويل، نحتاج إلى استخدام مفهوم التحويلات الخطية في الرياضيات، والذي يعتمد على المصفوفات والقوانين الخاصة بها.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قانون حساب مساحة المنطقة بالتحويلات الخطية:
   إذا كانت $A$ مساحة المنطقة الأصلية وكان $|\text{determinate}|$ قيمة determinate للمصفوفة المستخدمة في التحويل، فإن مساحة المنطقة بعد التحويل تساوي $\frac{|determinate|}{|determinate|} * A$.

2. التحويلات الخطية:
   تستخدم لتحويل المناطق في السطح، حيث يتم تطبيق مصفوفة على النقاط في المنطقة. ويمكن استخدام هذه التحويلات لتغيير حجم وشكل وموقع المنطقة دون تشويه أو تحريف الشكل الأصلي.

الآن، لحساب مساحة المنطقة $S’$ بعد التحويل، نحتاج إلى تحديد determinate للمصفوفة المعطاة، وهو الخطوة الأولى. لدينا المصفوفة:

لحساب determinate، نضرب القطر الرئيسي للمصفوفة ونطرح ضرب القطر الفرعي. لذا،

نرى أن determinate ليس صفريًا، مما يعني أن التحويل لم يُشوه المنطقة. بالتالي، يمكننا استخدام القانون لحساب مساحة $S’$:

مساحة $S’ = \frac{|-13|}{|-13|} * 10 = \frac{13}{13} * 10 = 10$.

وبالتالي، مساحة المنطقة $S’$ بعد التحويل تساوي 10.