حساب مجموع مكعبات الأعداد: الطبيعية والسالبة (مسألة رياضيات)

نريد حساب مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 ومن -1 إلى -100، ثم نجمع النتائج معًا.

لحساب مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100، يمكننا استخدام الصيغة التالية:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 99^3 + 100^3.$

وهذا يمكن تبسيطه باستخدام القاعدة التي تقول أن مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية من 1 إلى $n$ هو مربع مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى $n$. هذا يعني أننا نستطيع حساب مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 بإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 ثم نربع الناتج.

لحساب مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100، يمكن استخدام الصيغة التالية لمجموع سلسلة الأعداد الطبيعية:
$\text{مجموع} = \frac{n \times (n + 1)}{2}$
حيث $n$ هو العدد الأعظمي في السلسلة.

إذاً،
$\text{مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100} = \left(\frac{100 \times (100 + 1)}{2}\right)^2.$

الآن، لحساب مجموع مكعبات الأعداد السالبة من -1 إلى -100، يمكننا استخدام نفس المنطق. مجموع الأعداد السالبة من -1 إلى -100 يمكن تمثيله كالتالي:
$(-1)^3 + (-2)^3 + (-3)^3 + \ldots + (-99)^3 + (-100)^3.$

ومن ثم، نحسب مجموع الأعداد السالبة من -1 إلى -100 كمجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 ثم نضرب الناتج في -1.

بالتالي:
$\text{مجموع مكعبات الأعداد السالبة من -1 إلى -100} = -1 \times \left(\frac{100 \times (100 + 1)}{2}\right)^2.$

أخيرًا، نضيف النتيجتين معًا:
$\text{الناتج النهائي} = \left(\frac{100 \times (100 + 1)}{2}\right)^2 – \left(\frac{100 \times (100 + 1)}{2}\right)^2.$

لحل مسألة حساب مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية والأعداد السالبة، نستخدم مجموعة من القوانين والتقنيات الرياضية. دعونا نستعرضها بالتفصيل:

1. قانون مجموع الأعداد الطبيعية:
   يتيح لنا حساب مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى $n$ باستخدام الصيغة:
   $\text{مجموع} = \frac{n \times (n + 1)}{2}.$
   هذا القانون يستخدم لحساب مجموع السلسلة الحسابية من الأعداد الطبيعية.

2. تكرار الأعداد:
   نستخدم هذا القانون لتمثيل الأعداد السالبة والموجبة معًا، حيث نستخدم الأعداد الموجبة لحساب المجموع الطبيعي ونقوم بضرب الناتج في -1 للحصول على مجموع الأعداد السالبة.

3. قوانين العمليات الحسابية:
   نستخدم القواعد الأساسية للجبر للقيام بالعمليات الحسابية، مثل جمع وضرب الأعداد.

الآن، دعونا نقوم بتفصيل الحل:

1. نحسب مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 باستخدام القانون الأول:
   $\text{مجموع الأعداد الطبيعية} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2}.$

2. نربع الناتج للحصول على مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية.

3. نحسب مجموع الأعداد السالبة من -1 إلى -100 بطريقة مشابهة، ولكن بضرب الناتج في -1.

4. نجمع مجموع مكعبات الأعداد الطبيعية ومجموع مكعبات الأعداد السالبة معًا للحصول على الناتج النهائي.

باستخدام هذه القوانين والتقنيات الرياضية، نستطيع حساب النتيجة بدقة وفعالية. يتيح لنا الاستعانة بالرياضيات بناء نماذج دقيقة وحسابات دقيقة لمجموعات كبيرة من الأعداد.