حساب مجموع زوايا المضلع النظامي (مسألة رياضيات)

مقاس كل زاوية خارجية للمضلع النظامي يساوي $30$ درجة. ما مجموع مقاسات الزوايا الداخلية، بالدرجات؟

حل المسألة:
لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب مجموع مقاييس زوايا المضلع النظامي:

مجموع زوايا المضلع النظامي = (عدد الزوايا – 2) × 180 درجة

حيث أن عدد الزوايا في المضلع النظامي يكون مساوياً لعدد الأضلاع.

في هذه الحالة، نعلم أن مقاس كل زاوية خارجية للمضلع النظامي يساوي $30$ درجة. ولكن نلاحظ أن الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المتقابلة تكون مكملة لبعضهما البعض (مجموعهما يساوي $180$ درجة). لذا، مقاس كل زاوية داخلية يكون مكملاً للزاوية الخارجية، أي $180 – 30 = 150$ درجة.

بما أن المضلع يعتبر مضلعاً نظامياً، فإن عدد الزوايا يعبر عن عدد الأضلاع. لذا، يمكننا استخدام علاقة عدد الأضلاع ومجموع زوايا المضلع الداخلية كما هو مذكور أعلاه.

لحساب المجموع الإجمالي لمقاييس الزوايا الداخلية، نقوم بتعويض عدد الزوايا في الصيغة ونحسبها:

مجموع زوايا المضلع الداخلية = (عدد الأضلاع – 2) × 180 درجة

عدد الأضلاع = مقسومة على $360$ درجة (لأن كل زاوية داخلية مكملة لزاوية خارجية تساوي $30$ درجة).

عدد الأضلاع = $360 / 30 = 12$

نعوض القيم في الصيغة:

مجموع زوايا المضلع الداخلية = (12 – 2) × 180 درجة = 10 × 180 درجة = 1800 درجة

إذاً، مجموع مقاييس زوايا المضلع الداخلية يساوي $1800$ درجة.

لحل المسألة واستنتاج مجموع مقاييس زوايا المضلع الداخلية لا بد من فهم الخصائص والقوانين المتعلقة بالمضلعات النظامية والزوايا.

1. المضلع النظامي: هو مضلع يتساوى فيه طول الأضلاع ومقاسات الزوايا.

2. مجموع مقاييس زوايا المضلع الداخلية: يُعطى بالصيغة:
   $مجموع \: زوايا \: المضلع \: الداخلية = (عدد \: الأضلاع – 2) \times 180^\circ$

3. الزاوية الخارجية للمضلع النظامي: هي الزاوية التي تتشكل خارج المضلع، وهي متممة للزاوية الداخلية المتقابلة. مقاسها يتم حسابه على أساس تقسيم دائرة كاملة (360 درجة) على عدد الأضلاع.

4. متساوية التكافؤ للمضلع النظامي: في المضلع النظامي، جميع الزوايا والأضلاع متساوية في الحجم.

الآن، بناءً على هذه الخصائص، يمكننا القيام بالحسابات التالية:

1. لحساب عدد الأضلاع، نستخدم مقاس الزاوية الخارجية المعطى في المسألة. إذا كانت كل الزوايا الخارجية تساوي $30$ درجة، فإن عدد الأضلاع يكون مجموع $360$ درجة (زاوية دائرة كاملة) مقسومة على مقاس الزاوية الخارجية.

$عدد \: الأضلاع = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12 \: sides$

2. بمعرفة عدد الأضلاع، يمكننا استخدام الصيغة المذكورة أعلاه لحساب مجموع مقاييس الزوايا الداخلية:

$مجموع \: زوايا \: المضلع \: الداخلية = (12 – 2) \times 180^\circ = 10 \times 180^\circ = 1800^\circ$

بهذا نكون قد حللنا المسألة باستخدام القوانين المذكورة أعلاه وتطبيقها على المعطيات المعطاة في المسألة.