حساب مجموع المتتابعة الهندسية: تفاصيل وحلول (مسألة رياضيات)

المتتابعة هي: $3^0, 3^0 + 3^1, 3^0 + 3^1 + 3^2, \ldots$ وهذه المتتابعة تمثل مجموع التوابع التتالية للعدد $X$، حيث يتم جمع أسرار $X$ بشكل متتالي. الهدف هو حساب قيمة العنصر الرابع في هذه المتتابعة.

إذا كانت القيمة المعروفة للعنصر الرابع هي 40، فلنقم بحسابها بناءً على السلسلة المعطاة:
$3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3$

لحساب هذه القيمة، يمكننا استخدام صيغة مجموع التوابع الهندسية:
$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n – 1)}{r – 1}$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع أول $n$ عناصر.
• $a_1$ هو العنصر الأول في المتتابعة.
• $r$ هو النسبة بين العناصر المتتالية في المتتابعة.

في هذه الحالة:

• $a_1 = 3^0 = 1$
• $r = 3$ (نسبة بين العناصر المتتالية)
• $n = 4$ (العنصر الرابع الذي نريد حسابه)

الآن نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة:
$S_4 = \frac{1 \cdot (3^4 – 1)}{3 – 1}$

$S_4 = \frac{1 \cdot (81 – 1)}{2}$

$S_4 = \frac{80}{2}$

$S_4 = 40$

لذا، يتم التحقق من القيمة المعروفة وهي 40.

القيمة المجهولة لـ $X$ هي 3، حيث تكون النسبة بين العناصر المتتالية في المتتابعة هي 3.

بالطبع، دعونا نستعرض التفاصيل بشكل أكبر لحل المسألة ونشرح القوانين المستخدمة.

المتتابعة المعطاة هي:
$3^0, 3^0 + 3^1, 3^0 + 3^1 + 3^2, \ldots$

والهدف هو حساب قيمة العنصر الرابع في هذه المتتابعة، والتي تكون:
$3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3$

لحساب مجموع التوابع الهندسية، نستخدم الصيغة التالية:
$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n – 1)}{r – 1}$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع أول $n$ عناصر.
• $a_1$ هو العنصر الأول في المتتابعة.
• $r$ هو النسبة بين العناصر المتتالية في المتتابعة.

في هذه الحالة:

• $a_1 = 3^0 = 1$
• $r = 3$ (نسبة بين العناصر المتتالية)
• $n = 4$ (العنصر الرابع الذي نريد حسابه)

نقوم بتعويض هذه القيم في الصيغة:
$S_4 = \frac{1 \cdot (3^4 – 1)}{3 – 1}$

ثم نقوم بحساب القيم:
$S_4 = \frac{1 \cdot (81 – 1)}{2}$

ونحصل على:
$S_4 = \frac{80}{2}$

وبالتالي:
$S_4 = 40$

تأكدنا بأن القيمة المعروفة هي 40.

القوانين المستخدمة هي:

1. صيغة مجموع التوابع الهندسية:
   $S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n – 1)}{r – 1}$
   حيث $S_n$ هو مجموع أول $n$ عناصر، $a_1$ هو العنصر الأول، $r$ هو النسبة بين العناصر المتتالية، و$n$ هو عدد العناصر.

2. تعريف المتتابعة:
   العناصر في المتتابعة يتم جمعها بناءً على نسبة ثابتة بينها، كما هو الحال في هذه المتتابعة حيث تكون النسبة بين العناصر المتتالية هي 3.

3. تعويض القيم:
   تعويض القيم المعروفة في الصيغة للحصول على القيمة المطلوبة.