حساب مجموع الأعداد الفردية: حلول وتوضيحات (مسألة رياضيات)

من المعروف أن مجموع أول n أعداد فردية متتالية يمكن تعبيره بصيغة رياضية بأنه يساوي n^2. الآن، إذا أردنا حساب مجموع جميع الأعداد الفردية بين 15 و 41 (بما في ذلك هاتين الحدتين)، يمكننا أولاً تحديد الأعداد الفردية في هذا النطاق.

نعلم أن أي عدد فردي يمكن تمثيله على شكل 2k+1، حيث يمثل k عددًا صحيحًا. لذا، يمكننا تحديد الأعداد الفردية بين 15 و 41 عبر تحديد قيم ممكنة لـ k. في هذه الحالة، يمكننا أن نأخذ k من 7 إلى 20 لأن 2k+1 يكون فردياً.

الآن، لنقم بحساب المجموع. نقوم بجمع الأعداد الفردية المتولدة بواسطة 2k+1 لكل قيمة من 7 إلى 20، ثم نحسب الناتج. سنقوم بتوضيح هذه العملية بالتفصيل:

$(2 \times 7 + 1) + (2 \times 8 + 1) + \ldots + (2 \times 20 + 1)$

الآن، يمكننا حساب هذا الجمع باستخدام النهج العام لحساب مجموع تسلسل حسابي. يمكن تبسيط هذا الجمع إلى:

$\sum_{k=7}^{20} (2k + 1)$

وباستخدام الصيغة العامة لمجموع تسلسل حسابي:

$\sum_{k=m}^{n} a_k = \frac{n-m+1}{2} \times (a_m + a_n)$

نحصل على:

$\sum_{k=7}^{20} (2k + 1) = \frac{20-7+1}{2} \times (2 \times 7 + 1 + 2 \times 20 + 1)$

$= 7 \times (15 + 41)$

$= 7 \times 56$

$= 392$

لذا، مجموع جميع الأعداد الفردية بين 15 و 41 هو 392.

لحل هذه المسألة، سنبدأ بتحديد الأعداد الفردية بين 15 و 41. نستخدم تمثيل الأعداد الفردية بواسطة $2k + 1$ حيث $k$ هو عدد صحيح.

1. تحديد النطاق:
   نريد الأعداد بين 15 و 41، لذا نحدد القيم الممكنة لـ $k$ بحيث:
   $15 \leq 2k + 1 \leq 41$
   $7 \leq k \leq 20$

2. تحديد المجموع:
   نريد حساب مجموع هذه الأعداد الفردية. يمكن تمثيل المجموع بالشكل التالي:
   $\sum_{k=7}^{20} (2k + 1)$

3. استخدام قاعدة مجموع تسلسل حسابي:
   نستخدم القاعدة:
   $\sum_{k=m}^{n} a_k = \frac{n-m+1}{2} \times (a_m + a_n)$

   حيث $m$ و $n$ هما الحدود السفلية والعليا للتسلسل، و $a_k$ هو عنصر التسلسل في الموقع $k$.

4. حساب الناتج:
   نستخدم القاعدة لحساب المجموع:
   $\sum_{k=7}^{20} (2k + 1) = \frac{20-7+1}{2} \times (2 \times 7 + 1 + 2 \times 20 + 1)$

   وهنا يمكننا التبسيط:
   $= 7 \times (15 + 41)$
   $= 7 \times 56$
   $= 392$

القوانين المستخدمة:

1. تمثيل الأعداد الفردية:
   $\text{عدد فردي} = 2k + 1$

2. تحديد النطاق:
   $a \leq 2k + 1 \leq b \Rightarrow \frac{a-1}{2} \leq k \leq \frac{b-1}{2}$

3. قاعدة مجموع تسلسل حسابي:
   $\sum_{k=m}^{n} a_k = \frac{n-m+1}{2} \times (a_m + a_n)$

   حيث $m$ و $n$ هما حدود التسلسل، و $a_k$ هو عنصر التسلسل في الموقع $k$.

تمثل هذه القوانين الأساسية للجبر الخطي وحساب المجموعات التي تستخدم في هذا النوع من المشاكل الرياضية.