حساب قيم a و b في دالة رياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

إذا كانت الدالة $f(x) = \frac{x + 4}{x^2 + ax + b}$ ولديها نقطتين على الأفقي عند $x = 1$ و $x = -2$، ما هي قيم $a$ و $b$؟

الحل:

لنبدأ بتحديد متى تحدث النقاط على الأفقي. يحدث هذا عندما يكون المقام $x^2 + ax + b$ يساوي صفر، لأن القيمة في المقام لا تكون معرفة عندما يكون المقام يساوي صفر.

لذا، لنجد قيم $a$ و $b$، يجب أن نحل المعادلة التالية:

$x^2 + ax + b = 0$

لدينا نقطتين على الأفقي عند $x = 1$ و $x = -2$، لذلك يمكننا استخدام هاتين القيمتين لحساب $a$ و $b$.

1. عند $x = 1$:

$(1)^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

2. عند $x = -2$:

$(-2)^2 + a(-2) + b = 0$

$4 – 2a + b = 0$

الآن، لدينا نظامين من المعادلات:

$1 + a + b = 0$
$4 – 2a + b = 0$

يمكن حل هذا النظام للعثور على قيم $a$ و $b$.

نطرح المعادلتين:

$4 – 2a + b – (1 + a + b) = 0$

$3 – 3a = 0$

$3a = 3$

$a = 1$

الآن، وباستخدام قيمة $a$:

$1 + (1) + b = 0$

$2 + b = 0$

$b = -2$

إذا كانت قيم $a$ و $b$ هي 1 و -2 على التوالي، فإن مجموعهما يكون:

$a + b = 1 + (-2) = -1$

بالطبع، سأقوم بتوضيح المزيد من التفاصيل حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

القانون المستخدم:

نستخدم قاعدة أساسية في الجبر، وهي أننا نعلم أن لدينا نقطتين على الأفقي عند $x = 1$ و $x = -2$، وهذا يعني أن المقام $x^2 + ax + b$ يجب أن يكون يساوي صفر عند هذين القيمتين.

الحل:

لنقم بحل المعادلة التي تمثل المقام:

$x^2 + ax + b = 0$

ونستخدم النقطتين $x = 1$ و $x = -2$ لحساب قيم $a$ و $b$.

1. لـ $x = 1$:

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

2. لـ $x = -2$:

$(-2)^2 + a(-2) + b = 0$

$4 – 2a + b = 0$

الآن نقوم بحساب قيم $a$ و $b$ عن طريق حل هذا النظام من المعادلات.

أولًا، نطرح المعادلتين:

$4 – 2a + b – (1 + a + b) = 0$

$3 – 3a = 0$

$3a = 3$

$a = 1$

الآن، بوجود قيمة $a$، نستخدمها لحل المعادلة الأخرى:

$1 + (1) + b = 0$

$2 + b = 0$

$b = -2$

إذا كانت قيم $a$ و $b$ هي 1 و -2 على التوالي.

المجموع:

$a + b = 1 + (-2) = -1$

تم استخدام قاعدة أساسية في الجبر لحل المسألة، وهي حساب قيم المتغيرات عندما يكون المعامل يساوي صفر.