حساب قيمة X X X في مصفوفة التربيعات (مسألة رياضيات)

نريد حساب التركيبة التالية:

لنجد القيمة المجهولة للمتغير $X$، نقوم بحساب القوة 2018 للمصفوفة المعطاة. لتبسيط العملية، سنقوم بتطبيق عملية الضرب عدة مرات لنتمكن من تحديد النمط واستنتاج القيم.

لدينا:

نريد حساب $A^{2018}$. لفعل ذلك، نقوم بالحساب التالي:

حيث قمنا بضرب كل صف بكل عمود وجمع الناتجات للحصول على المصفوفة النهائية.

الآن، لحساب $A^3$، نقوم بالضرب التالي:

الآن، بما أننا نريد حساب $A^{2018}$، نلاحظ أنه إذا كان $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2X & 1 \end{pmatrix}$ و $A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3X & 1 \end{pmatrix}$، فإنه يبدو أن هناك نمطاً في الأعداد: 2، 3، 4، وهكذا. يمكن توسيع هذا النمط إلى $A^{2018}$ بسهولة.

لذا، نلاحظ أن لدينا نمط: قيمة $X$ تضاف إلى القيمة الأصلية مضروبة في عدد مرات التكرار. إذاً، من المعادلة $1 + 2018X = 0$ نستنتج أن $X = -\frac{1}{2018}$.

لتجنب الأخطاء، دعنا نتأكد من حسابنا:

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي $-\frac{1}{2018}$.

لحل المسألة وتحديد قيمة المتغير $X$ في مصفوفة $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ X & 1 \end{pmatrix}$ مرفوعة إلى القوة 2018، سنقوم بتطبيق قوانين الجبر الخطي وحساب القوى للمصفوفات.

1. قانون ضرب المصفوفات: حيث نضرب الصفوف في المصفوفة الأولى بالأعمدة في المصفوفة الثانية، ونجمع المنتجات للحصول على المصفوفة الناتجة.

2. قوانين الأسس للمصفوفات: حيث يمكننا رفع المصفوفة إلى أي قوة موجبة بتكرار الضرب في نفسها بحسب عدد مرات القوة.

بدأنا بحساب قوى $A$، حيث كان لدينا:

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ X & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ X & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ X & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ X & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2X & 1 \end{pmatrix}$

ثم حسبنا $A^3$ بضرب $A^2$ في $A$ للحصول على:

$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2X & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ X & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2X+X & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3X & 1 \end{pmatrix}$

ثم لاحظنا النمط في الأعداد: 2، 3، 4، وهكذا. واستنتجنا أن قيم $X$ تضاف إلى القيمة الأصلية مضروبة في عدد مرات التكرار.

لحساب $A^{2018}$، قمنا بتكرار العملية ووجدنا أن $X = -\frac{1}{2018}$ بعد ملاحظة أن القوة التي يتم ضرب $X$ فيها تتزايد بواحد مع كل مرة يتم فيها رفع المصفوفة إلى قوة جديدة.

استخدمنا قوانين الجبر الخطي وقوانين الأسس للمصفوفات لتحليل وحساب النتائج بشكل دقيق، مما أدى إلى العثور على قيمة المتغير $X$ المطلوبة.