حساب قيمة sin F في مثلث قائم الزاوي (مسألة رياضيات)

المثلث القائم الزاوي $DEF$ حيث $\sin D = \frac{5}{13}$ و $\sin E = 1$. نريد حساب قيمة $\sin F$.

نعلم أن $\sin E = 1$، ولكن يتوجب علينا التحقق من صحة هذه المعلومة، حيث يكون $\sin E$ هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية $E$ إلى الوتر الفعلي في المثلث. ونظرًا لأن $\sin E = 1$، فإن هذا يعني أن طول الضلع المقابل للزاوية $E$ يكون يساوي طول الوتر. وهذا لا يمكن حدوثه في مثلث قائم الزاوية، لأن الوتر هو الضلع الذي يكون مقابل للزاوية القائمة، وبالتالي، لا يمكن أن يكون طول الوتر يساوي طول الضلع المقابل لزاوية قائمة.

لحسن الحظ، نستنتج أن هناك خطأ في المعلومات المقدمة. يجب تصحيح هذا الخطأ لتمكيننا من حساب قيمة $\sin F$ بشكل صحيح.

لكن في حالة استمرارنا في حساب $\sin F$ بافتراض أن $\sin E = 1$، سنواجه مشكلة في الحسابات. حيث نعلم أن $\sin F$ يمكن حسابها باستخدام معادلة الزاوية الداخلية في المثلث، والتي تكون:

$\sin F = \frac{\text{ضلع مقابل لزاوية } F}{\text{الوتر}}$

لكن بسبب الاشتباك في المعلومات، فإننا لا نملك قيمة الضلع المقابل للزاوية $F$ بشكل صحيح. لذا، يصبح من الضروري تصحيح المعلومات المتاحة قبل أن نتمكن من استكمال الحسابات بشكل صحيح.

نعتذر عن اللبس في الإجابة السابقة. لنقم بتصحيح المعلومات واستكمال حل المسألة.

المعلومات الصحيحة:
في المثلث القائم الزاوي $DEF$، نعلم أن $\sin D = \frac{5}{13}$ وأن $\sin E = 1$.

لحساب قيمة $\sin F$، نستخدم القاعدة التالية:

$\sin F = \frac{\text{ضلع مقابل لزاوية } F}{\text{الوتر}}$

نعلم أن المثلث $DEF$ هو مثلث قائم الزاوية، لذا يمكننا استخدام قانون جيب التمام في المثلث لحساب الضلع المقابل للزاوية $F$.

قانون جيب التمام يقول:
$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$

حيث:

• $a$ هو الضلع المقابل للزاوية التي نريد حساب قيمتها ($F$ في حالتنا).
• $b$ و $c$ هما باقي الضلوع.
• $A$ هو الزاوية المقابلة للضلع $a$.

في حالتنا:

• $a$ هو الضلع المقابل للزاوية $F$.
• $b$ و $c$ هما الضلوع المتجاورين للزاوية $F$ في المثلث $DEF$.
• $A$ هي الزاوية $E$ (زاوية القائم).

لذا، نكتب المعادلة كالتالي:
$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos E$

وباستخدام المعلومات المتاحة، نحسب القيم:
$a^2 = DE^2 = EF^2 + DF^2 – 2 \cdot EF \cdot DF \cdot \cos E$

نعلم أن $\cos E = \cos 90^\circ = 0$ (لأن $E$ هي زاوية القائم في المثلث)، لذا المعادلة تتبسط إلى:
$DE^2 = EF^2 + DF^2$

الآن، نعلم أن $\sin D = \frac{5}{13}$ ويمكننا حساب $\cos D$ باستخدام الهوية الأساسية $\sin^2 D + \cos^2 D = 1$. بمعرفة $\sin D$، نحسب $\cos D$ ونستخدمها في قانون جيب التمام مرة أخرى لحساب الضلع المقابل للزاوية $F$.

بهذه الطريقة، نستنتج القيم ونقوم بحساب $\sin F$ باستخدام النسبة المذكورة في القاعدة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون جيب التمام.
2. الهوية الأساسية $\sin^2 D + \cos^2 D = 1$.