حساب قيمة n لمجموع الأعداد الفردية

المطلوب هو إيجاد قيمة المتغير $n$ إذا كان مجموع الأعداد الفردية المتتالية من 1 إلى $n$ يساوي 169.

لنقم بتمثيل هذه المشكلة بشكل رياضي. نعلم أن مجموع الأعداد الفردية يمكن تمثيله بالصيغة:

$S = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n – 1)$

لدينا مجموعاً معروفاً (169)، ونريد إيجاد القيمة المناسبة لـ $n$. يمكننا استخدام الصيغة لجمع مجموعة من الأعداد الفردية:

$S = \frac{n}{2} \times (2 \times 1 + (n-1) \times 2)$

نعيد ترتيب الصيغة للعثور على قيمة $n$:

$169 = \frac{n}{2} \times (2 + 2n – 2)$

نبسط الصيغة:

$169 = \frac{n}{2} \times (2n)$

نقوم بضرب الطرفين في 2 لتخلص من المقام:

$338 = n \times (2n)$

الآن نقوم بترتيب الصيغة إلى صيغة منتج درجة ثانية:

$2n^2 = 338$

ثم نقوم بتقسيم كل جانب على 2:

$n^2 = 169$

الآن نستخرج الجذر التربيعي:

$n = \pm 13$

لكن لا يمكن أن يكون $n$ سالبًا في هذا السياق، لذلك القيمة الصحيحة لـ $n$ هي 13.

لنحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، دعونا نبدأ بتعريف القوانين المستخدمة:

1. مجموع الأعداد الفردية:
   إذا كنا نريد حساب مجموع الأعداد الفردية من 1 إلى $n$، يمكننا استخدام القاعدة التي تقول إن مجموع الأعداد الفردية يمكن حسابه بواسطة الصيغة:
   $S = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n – 1)$

2. صيغة مجموع الأعداد الفردية:
   نستخدم الصيغة التالية لحساب مجموع الأعداد الفردية:
   $S = \frac{n}{2} \times (2 \times 1 + (n-1) \times 2)$

   حيث يكون $n$ هو عدد الأعداد الفردية.

3. حساب مجموع الأعداد الفردية باستخدام مجموعة طبيعية:
   إذا كان لدينا مجموعة من الأعداد الفردية (من 1 إلى $n$)، يمكننا استخدام الصيغة:
   $S = \frac{n}{2} \times (a + l)$

   حيث $a$ هو العدد الأول في المجموعة و $l$ هو العدد الأخير.

الآن، لحل المسألة:

1. نعلم أن مجموع الأعداد الفردية يساوي 169.

2. نستخدم الصيغة لحساب مجموع الأعداد الفردية:
   $S = \frac{n}{2} \times (2 \times 1 + (n-1) \times 2)$
   ونعوض قيمة 169 في مكان $S$.

3. نقوم بتبسيط الصيغة وحلها للعثور على قيمة $n$.

4. نتحقق من الحل ونتأكد من أنه يعطينا قيمة منطقية.

5. نجد أن قيمة $n$ تساوي 13.

بهذا الشكل، نستخدم القوانين الرياضية لتمثيل المشكلة وحلها بطريقة دقيقة ومنهجية.