حساب قيمة m+b بفحص الانعكاس (مسألة رياضيات)

الصورة الانعكاسية لنقطة ذات إحداثيات $(1,1)$ حول خط ذو المعادلة $y=mx+b$ هي نقطة ذات إحداثيات $(9,5)$. الهدف هو إيجاد قيمة التعبير $m+b$.

لحساب النقطة الانعكاسية، يمكن استخدام الصيغة التالية:
$(x’, y’) = \left( \frac{2m(x+my-b)}{m^2+1}, \frac{m^2(x+my)+2by}{m^2+1} \right)$

حيث $(x’, y’)$ هي النقطة الانعكاسية للنقطة $(x, y)$ حول الخط $y=mx+b$. في هذه المسألة، لدينا $(x, y) = (1,1)$ و $(x’, y’) = (9,5)$.

نقوم بتعويض القيم في الصيغة:
$9 = \frac{2m(1+m\cdot1-b)}{m^2+1}$
$5 = \frac{m^2(1+m\cdot1)+2b\cdot1}{m^2+1}$

يمكننا حل هذا النظام من المعادلات للعثور على قيم $m$ و $b$. بعد حساب القيم، يمكننا إيجاد $m+b$ ببساطة.

بتوسيع الصيغ وتبسيطها، نحصل على:
$9(m^2+1) = 2m(1+m-b)$
$5(m^2+1) = m^2 + 2b$

حلاً لهذا النظام يؤدي إلى:
$m = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{9}{2}$

وبالتالي:
$m + b = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

إذاً، قيمة $m+b$ هي 5.

بالطبع، دعونا نستعرض التفاصيل الأكثر عند حل هذه المسألة ونذكر القوانين المستخدمة. سنقوم بحساب قيمة $m+b$ بفحص الانعكاس حول الخط $y=mx+b$.

لدينا النقطتين $(1,1)$ و$(9,5)$، ونريد العثور على $m$ و $b$ في معادلة الخط $y=mx+b$.

1. استخدام قانون الانعكاس حول الخط:
   يُستخدم قانون الانعكاس لنقطة $(x, y)$ حول الخط $y=mx+b$ بالصيغة التالية:
   $(x’, y’) = \left( \frac{2m(x+my-b)}{m^2+1}, \frac{m^2(x+my)+2by}{m^2+1} \right)$

   حيث $(x’, y’)$ هي النقطة الانعكاسية للنقطة $(x, y)$ حول الخط $y=mx+b$. في هذه المسألة، $(x, y) = (1,1)$ و$(x’, y’) = (9,5)$.

2. حساب القيم باستخدام النظام المعادلات:
   نقوم بتعويض القيم المعروفة في الصيغة للحصول على نظام معادلات:
   $9 = \frac{2m(1+m-b)}{m^2+1}$
   $5 = \frac{m^2(1+m)+2b}{m^2+1}$

3. حل النظام المعادلات:
   نقوم بحساب القيم لـ $m$ و $b$ من خلال حل النظام. في هذه المسألة، نجد $m = \frac{1}{2}$ و $b = \frac{9}{2}$.

4. حساب $m+b$:
   بعد حصولنا على قيم $m$ و $b$، يمكننا حساب $m+b$:
   $m + b = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = 5$

لذا، قيمة $m+b$ هي 5.

في هذا الحل، تم استخدام قانون الانعكاس للنقط حول الخط، وذلك بتوظيف معادلات الهندسة الرياضية والجبر لحساب قيم $m$ و $b$. النظام المعادلات يأتي من تعويض النقط المعروفة في صيغة الانعكاس، ومن ثم يتم حله للحصول على قيم $m$ و $b$.