حساب قيمة حاصل الضرب للجذور المعادلة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا كانت $r,$ $s,$ و $t$ هي جذور المعادلة $x^3 – 20x^2 + 18x – 7 = 0$، فما قيمة $(1+r)(1+s)(1+t)$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، سنستخدم العلاقات بين جذور المعادلة ومعاملاتها. المعادلة $x^3 – 20x^2 + 18x – 7 = 0$ لها ثلاث جذور مختلفة هي $r,$ $s,$ و $t$.

نلاحظ أنه إذا كانت $r$ هي جذر المعادلة، فإن $(r-1)$ هو جذر المعادلة $x^3 – 20x^2 + 18x – 7 = 0$ بالضرب في $-1$، وهو بمثابة جذر للمعادلة المنعكسة حول النقطة $(1, 0)$. وبالتالي، يمكننا كتابة المعادلة الجديدة كالتالي:
$(x-1)^3 – 20(x-1)^2 + 18(x-1) – 7 = 0$

الآن، دعنا نقوم بتوسيع هذه المعادلة ونجمع الأعضاء المماثلة ونجمع القوى:
$x^3 – 3x^2 + 3x – 1 – 20(x^2 – 2x + 1) + 18(x – 1) – 7 = 0$

$x^3 – 3x^2 + 3x – 1 – 20x^2 + 40x – 20 + 18x – 18 – 7 = 0$

$x^3 – 23x^2 + 61x – 46 = 0$

وهذه المعادلة تمثل نفس المعادلة الأصلية $x^3 – 20x^2 + 18x – 7 = 0$، لكن بتحول في القيم. ومن خلال مقارنة المعاملات، نجد أن الجذر $r-1$ للمعادلة الجديدة يساوي $r$ في المعادلة الأصلية.

بالتالي، إذا كنا نعرف أن $r,$ $s,$ و $t$ هي جذور المعادلة الأصلية، فإن $(r-1),$ $(s-1),$ و $(t-1)$ هي جذور المعادلة الجديدة.

الآن، نحن بحاجة إلى حساب حاصل ضرب الجذور الثلاثة للمعادلة الجديدة:
$(1+r)(1+s)(1+t) = 1 + (r+s+t) + (rs + rt + st) + rst$

ونحن نعلم من نظرية المعادلات أن معامل الدرجة الثانية $(-20)$ هو $-(r+s+t)$، ومعامل الدرجة الأولى $(18)$ هو $rs + rt + st$، ومعامل الدرجة الصفرية $(-7)$ هو $-rst$.

لذا،
$(1+r)(1+s)(1+t) = 1 – (-20) + 18 – (-7) = 46$

إذاً، قيمة $(1+r)(1+s)(1+t)$ هي $46$.

لحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، سنستخدم عدة مفاهيم وقوانين من نظرية المعادلات وجبر الجذور.

1. العلاقة بين جذور المعادلة ومعاملاتها:
   في المعادلة الثلاثية $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$، إذا كانت $r,$ $s,$ و $t$ هي جذور المعادلة، فإنه يمكننا كتابة المعادلة بشكل:
   $a(x-r)(x-s)(x-t) = 0$
   حيث $a$ هو المعامل الرئيسي، و $r,$ $s,$ و $t$ هي الجذور.

2. معادلة العلاقة بين الجذور والمعاملات:
   إذا كانت $r,$ $s,$ و $t$ هي جذور المعادلة، فإن العلاقة بين الجذور والمعاملات تقول:
   $r + s + t = -\frac{b}{a}$
   $rs + rt + st = \frac{c}{a}$
   $rst = -\frac{d}{a}$

3. تحويل المعادلة:
   بالاستفادة من العلاقة بين الجذور والمعاملات، يمكننا تحويل المعادلة بتغيير الأصل إلى معادلة جديدة تحوي جذورًا مختلفة.

الآن، سنطبق هذه القوانين على المسألة المعطاة:

المعادلة الأصلية:
$x^3 – 20x^2 + 18x – 7 = 0$

1. نحدد المعاملات: $a = 1$, $b = -20$, $c = 18$, $d = -7$.

2. نستخدم العلاقات بين الجذور والمعاملات:
   $r + s + t = 20$
   $rs + rt + st = 18$
   $rst = 7$

3. نحسب المعادلة الجديدة:
   إذا كانت $r$ هي جذر المعادلة، فإن $(r-1)$ هو جذر المعادلة الجديدة.
   بالتالي،
   $(x-1)^3 – 20(x-1)^2 + 18(x-1) – 7 = 0$

4. نقوم بحساب حاصل الضرب للجذور الجديدة:
   $(1+r)(1+s)(1+t) = 1 + (r+s+t) + (rs + rt + st) + rst$
   ونستخدم العلاقات السابقة لحساب قيم المعاملات.

بالتالي، يتم الوصول إلى الحل النهائي الذي هو قيمة $(1+r)(1+s)(1+t)$ التي تساوي 46.

هذه العملية تستند إلى المفاهيم الأساسية في نظرية المعادلات وتطبيق العلاقات بين الجذور والمعاملات. توظيف هذه القوانين يساعد في حل المسائل الرياضية بطريقة دقيقة وفعالة.