حساب قيمة تعبير رباعي مع الجذر (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمة المتغير $x$ تساوي $1 + \sqrt{2}$، فما هي قيمة التعبير $x^4 – 4x^3 + 4x^2 + 3$؟

المسألة:
$x = 1 + \sqrt{2}$

نريد حساب قيمة التعبير:
$x^4 – 4x^3 + 4x^2 + 3$

الحل:

لحل هذه المسألة، سنستخدم القيمة المعطاة لـ $x$ ونقوم بتعويضها في التعبير. لذا:
$x^4 – 4x^3 + 4x^2 + 3 = (1 + \sqrt{2})^4 – 4(1 + \sqrt{2})^3 + 4(1 + \sqrt{2})^2 + 3$

لتبسيط التعبير، سنقوم بفتح الأقواس وجمع الطرادات:
$(1 + \sqrt{2})^4 = 1^4 + 4 \cdot 1^3 \cdot (\sqrt{2}) + 6 \cdot 1^2 \cdot (\sqrt{2})^2 + 4 \cdot 1 \cdot (\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2})^4$

$= 1 + 4\sqrt{2} + 12 + 4\sqrt{2} + 2$

$= 15 + 8\sqrt{2}$

الآن، سنقوم بتعويض هذه القيمة في التعبير الأصلي:
$15 + 8\sqrt{2} – 4(1 + \sqrt{2})^3 + 4(1 + \sqrt{2})^2 + 3$

سنواصل التبسيط:
$= 15 + 8\sqrt{2} – 4(1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^3) + 4(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) + 3$

$= 15 + 8\sqrt{2} – 4(1 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + 4(1 + 2\sqrt{2} + 2) + 3$

$= 15 + 8\sqrt{2} – 4 – 12\sqrt{2} – 8\sqrt{2} + 4 + 8\sqrt{2} + 8 + 3$

$= 22$

إذا كانت قيمة التعبير $x^4 – 4x^3 + 4x^2 + 3$ عندما $x = 1 + \sqrt{2}$ تساوي 22.

بالطبع، سنقوم بتوضيح التفاصيل الإضافية لحل المسألة وذلك باستخدام القوانين والخطوات الرياضية المناسبة.

المسألة:
$x = 1 + \sqrt{2}$

نريد حساب قيمة التعبير:
$x^4 – 4x^3 + 4x^2 + 3$

الحل:

الخطوة 1: فتح الأقواس
$(1 + \sqrt{2})^4 = 1^4 + \binom{4}{1} \cdot 1^3 \cdot (\sqrt{2}) + \binom{4}{2} \cdot 1^2 \cdot (\sqrt{2})^2 + \binom{4}{3} \cdot 1 \cdot (\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2})^4$

نستخدم القاعدة العامة لتوسيع قوة رباعية:
$= 1 + 4\sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4\sqrt{2} + 2$

$= 15 + 8\sqrt{2}$

الخطوة 2: تعويض القيمة في التعبير الأصلي
$x^4 – 4x^3 + 4x^2 + 3 = 15 + 8\sqrt{2} – 4(1 + \sqrt{2})^3 + 4(1 + \sqrt{2})^2 + 3$

الخطوة 3: فتح الأقواس وتبسيط التعبير
نقوم بفتح الأقواس وجمع الطرادات بحيث نستخدم قوانين الجمع والضرب:

$= 15 + 8\sqrt{2} – 4(1 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + 4(1 + 2\sqrt{2} + 2) + 3$

$= 15 + 8\sqrt{2} – 4 – 12\sqrt{2} – 8\sqrt{2} + 4 + 8\sqrt{2} + 8 + 3$

$= 22$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة توسيع القوة الرابعة: تمثيل $(1 + \sqrt{2})^4$ باستخدام قاعدة توسيع الأقواس.
2. الجمع والضرب: استخدام قوانين الجمع والضرب لتبسيط التعابير الرباعية.
3. تعويض القيم: استخدام قيمة $x = 1 + \sqrt{2}$ لتعويضها في التعبير الأصلي.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، وصلنا إلى قيمة التعبير المطلوبة وهي 22.