حساب قيمة تانجنت التمام للكوتنجنت (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة التمام للتمام العكسي للكوتنجنت للنسبة بين الضلع المقابل لزاوية معينة والضلع المجاور لها في المثلث القائم. النسبة المعنية هي $\frac{4}{7}.$ لحساب قيمة $\tan \left (\operatorname{arccot} \frac{4}{7} \right),$ سنقوم بتحديد النسب المتبادلة في المثلث القائم. يمكننا استخدام قاعدة فيثاغورس لتحديد الضلع الثالث:

$a^2 + b^2 = c^2$

حيث $a$ و $b$ هما الضلعان المتبادلان للزاوية المعنية، و $c$ هو الضلع الفاصل (المائل). في هذا السياق، لنفترض أن $a$ يمثل الضلع المقابل للزاوية، و $b$ يمثل الضلع المجاور لها، و $c$ يمثل الضلع الفاصل. بناءً على النسب المعطاة $\frac{4}{7},$ يكون $a = 4$ و $b = 7.$ يمكننا حساب القيمة الفعلية للضلع الفاصل $c$ عن طريق استخدام قاعدة فيثاغورس:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

$c = \sqrt{4^2 + 7^2}$

$c = \sqrt{16 + 49}$

$c = \sqrt{65}$

الآن، نعلم قيم الضلعين $a$ و $b$ وبالتالي يمكننا حساب قيمة التمام للزاوية المعنية باستخدام الدالة التنجانت:

$\tan \theta = \frac{a}{b}$

$\tan \theta = \frac{4}{7}$

لذا، قيمة $\tan \left (\operatorname{arccot} \frac{4}{7} \right)$ تكون $\frac{4}{7}.$

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الخاصة بالمثلثات القائمة والتي تتضمن القاعدة الأساسية فيثاغورث والتعاريف الخاصة بالدوال التقابلية في المثلث.

المعلومات المعطاة:
$\cot \theta = \frac{4}{7}$

نريد حساب قيمة التمام للتمام العكسي للكوتنجنت لهذه الزاوية، والتي تمثل $\tan \left (\operatorname{arccot} \frac{4}{7} \right).$

لنحسب القيم المتبادلة في المثلث القائم:
$a = 4 \quad (\text{الضلع المقابل للزاوية})$
$b = 7 \quad (\text{الضلع المجاور للزاوية})$

القاعدة الرئيسية فيثاغورث تقول:
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

حيث $c$ هو الضلع الفاصل (المائل). نعوض القيم:
$c = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$

الآن، نستخدم التعاريف الخاصة بالدوال التقابلية:
$\tan \theta = \frac{a}{b}$

نعوض القيم:
$\tan \theta = \frac{4}{7}$

لذا، قيمة $\tan \left (\operatorname{arccot} \frac{4}{7} \right)$ هي $\frac{4}{7}.$

قوانين المثلثات القائمة المستخدمة:

1. قاعدة فيثاغورث:
   $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

2. تعريف الدالة التنجانت:
   $\tan \theta = \frac{a}{b}$

هذه القوانين هي الأساس في حسابات المثلثات القائمة وتستخدم لتحديد النسب بين الضلوع في هذه المثلثات.