المسألة الرياضية: حساب قيمة الجيب التمامي لزاوية 210 درجة.
حل المسألة:
نعلم أن $\cos 210^\circ$ يمكن أن يتمثل في المثلثات. لحساب قيمة $\cos 210^\circ$، نلجأ إلى القيم المعروفة لدوال الزوايا في المثلثات المستخدمة في دوائر الوحدة.
للزاوية 210 درجة، نلاحظ أنها تقع في الربع الثالث للمستوى الدائري. في هذا الربع، الجيب التمامي للزاوية هو نفسه الجيب التمامي للزاوية المتممة لها في الربع الأول.
زاوية المتممة لـ $210^\circ$ هي $180^\circ – 210^\circ = -30^\circ$. ونعلم أن الجيب التمامي للزاوية $-30^\circ$ يكون متساويًا تماما للجيب التمامي للزاوية $30^\circ$.
لذا، يتبع أن $\cos 210^\circ = \cos (-30^\circ)$. الآن، نعرف أن قيمة الجيب التمامي للزاوية $30^\circ$ معروفة، حيث أنها تكون $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
ومن الخواص الزاوية المعاكسة، نعرف أن $\cos (-\theta) = \cos \theta$. لذا، $\cos (-30^\circ) = \cos 30^\circ$.
إذاً، نستخدم قيمة الجيب التمامي للزاوية $30^\circ$ والتي تساوي $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
وبالتالي، $\cos 210^\circ = \cos (-30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
المزيد من المعلومات
لحل مسألة حساب قيمة الجيب التمامي للزاوية 210 درجة، نستخدم عدة مفاهيم وقوانين في الجبر والهندسة الفراغية.
-
الزوايا المتممة: في الدائرة الوحدة، الجيب التمامي لزاوية هو الجيب للزاوية المتممة لها. بمعنى آخر، إذا كانت الزاوية $\theta$ فإن الجيب التمامي لها هو نفس الجيب للزاوية $(180^\circ – \theta)$.
-
الخواص الزاوية المعاكسة: في المثلثات، جيب التمامي لزاوية معينة يكون متساوياً تماماً لجيب التمامي للزاوية المعاكسة لها.
الآن، لحساب $\cos 210^\circ$، نستخدم الخواص المذكورة أعلاه:
أولاً، نستخدم مفهوم الزوايا المتممة:
ثانيًا، نستخدم الخاصية التي تقول إن الجيب التمامي للزاوية $-30^\circ$ هو نفس الجيب التمامي للزاوية $30^\circ$.
ثم، نستخدم قيمة الجيب التمامي للزاوية $30^\circ$ المعروفة في المثلثات، وهي $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
وبناء على ذلك، يتضح أن:
هذا الحل يستند إلى الخواص الأساسية للزوايا والدوال المثلثية، ويظهر كيف يمكن استخدام هذه الخواص لتبسيط العمليات الحسابية وحساب قيم دوال الزوايا بطريقة فعالة.