مسائل رياضيات

حساب قوى العدد المعقد (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 11/03/2024
0

لنقم بحساب $z^6$، حيث يُعطى:
z=−3+i2.z = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}.

أولاً، لنقم بتحديد $z^6$.
نعلم أن
z6=(z2)3.z^6 = (z^2)^3.

مواضيع ذات صلة

لحساب $z^2$، نقوم برفع القيمة $z$ إلى السلطة الثانية.
z2=(−3+i2)2.z^2 = \left(\frac{-\sqrt{3} + i}{2}\right)^2.

سنقوم بالحساب التالي:

z2=(−3+i2)2=(−3)2+2⋅(−3)⋅i+i24=3−23i−14=2−23i4=1−3i2.\begin{aligned} z^2 &= \left(\frac{-\sqrt{3} + i}{2}\right)^2 \\ &= \frac{(-\sqrt{3})^2 + 2 \cdot (-\sqrt{3}) \cdot i + i^2}{4} \\ &= \frac{3 – 2\sqrt{3}i – 1}{4} \\ &= \frac{2 – 2\sqrt{3}i}{4} \\ &= \frac{1 – \sqrt{3}i}{2}. \end{aligned}

الآن، لدينا قيمة $z^2$، لكن نحتاج إلى رفعها إلى السلطة الثالثة.
z6=(z2)3=(1−3i2)3.z^6 = (z^2)^3 = \left(\frac{1 – \sqrt{3}i}{2}\right)^3.

سنقوم بحساب القيمة:

(z2)3=(1−3i2)3=(1−3i)38.\begin{aligned} (z^2)^3 &= \left(\frac{1 – \sqrt{3}i}{2}\right)^3 \\ &= \frac{(1 – \sqrt{3}i)^3}{8}. \end{aligned}

الآن، سنقوم بتوسيع $(1 – \sqrt{3}i)^3$ باستخدام قاعدة التوسيع للأسس:

(1−3i)3=13−3⋅12⋅3i+3⋅1⋅(3i)2−(3i)3=1−33i+3(−3i)−(−33i)=1−9i−9+33i=−8−63i.\begin{aligned} (1 – \sqrt{3}i)^3 &= 1^3 – 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3}i + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3}i)^2 – (\sqrt{3}i)^3 \\ &= 1 – 3\sqrt{3}i + 3(-3i) – (-3\sqrt{3}i) \\ &= 1 – 9i – 9 + 3\sqrt{3}i \\ &= -8 – 6\sqrt{3}i. \end{aligned}

وبالتالي:

z6=(1−3i)38=−8−63i8=−1−343i.\begin{aligned} z^6 &= \frac{(1 – \sqrt{3}i)^3}{8} \\ &= \frac{-8 – 6\sqrt{3}i}{8} \\ &= -1 – \frac{3}{4}\sqrt{3}i. \end{aligned}

إذاً، $z^6 = -1 – \frac{3}{4}\sqrt{3}i$.

المزيد من المعلومات

في حساب $z^6$، نستخدم عدة قوانين وخطوات حسابية. السلسلة التالية توضح التفاصيل الإضافية والقوانين المستخدمة في الحل:

  1. تحديد القيمة $z$: القيمة معطاة كـ $z = \frac{-\sqrt{3} + i}{2}$.

  2. تحويل $z$ إلى صورة العدد النسبي: يمكن تمثيل $z$ في الشكل النسبي كـ $z = a + bi$، حيث $a$ هو الجزء الحقيقي، و $b$ هو الجزء الخيالي. في هذه الحالة، $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $b = \frac{1}{2}$.

  3. حساب $z^2$: نقوم برفع $z$ إلى السلطة الثانية للحصول على $z^2$. نستخدم في ذلك قاعدة الأسس للأعداد النسبية المعقدة.

  4. حساب $z^6$ باستخدام $z^2$: نستخدم خواص الأسس لحساب $z^6$ عن طريق رفع $z^2$ إلى السلطة الثالثة.

  5. تحويل النتيجة إلى صورة العدد النسبي: بعد حساب $z^6$، نحصل على قيمة معقدة. يجب تحويل هذه القيمة إلى صورة العدد النسبي مرة أخرى لتوضيح النتيجة.

  6. استخدام الخواص الجبرية للأعداد المعقدة: خلال العملية، استخدمنا خواص الجبر للأعداد المعقدة مثل قوانين الأسس وقوانين الضرب والقسمة.

  7. التوسيع الجبري: في خطوة حسابية معينة، قمنا بتوسيع التعبير $(1 – \sqrt{3}i)^3$ باستخدام قاعدة التوسيع للأسس.

  8. تبسيط التعبيرات: بعد كل عملية حسابية، قمنا بتبسيط التعبيرات للحصول على نتائج أكثر بساطة ووضوحا.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الجبرية، نحصل على النتيجة النهائية لـ $z^6$ بعد سلسلة من العمليات الحسابية.

اخر تحديث 11/03/2024
0