حساب فترة تضاعف البكتيريا (مسألة رياضيات)

في الساعة الثالثة مساءً، كان هناك 20 بكتيريا في العينة. وبما أن العينة تتضاعف كل X دقيقة، فإنه من السهل حساب عدد البكتيريا في الساعة 3:15 مساءً.

نظرًا لأن هناك زيادة مستمرة في عدد البكتيريا، فإننا نعرف أنه في كل مرة يتم فيها تضاعف عدد البكتيريا. لذا، إذا كانت العينة تتضاعف كل X دقيقة، فإنها ستتضاعف مرة واحدة بعد X دقيقة، مرة أخرى بعد 2X دقيقة، وهكذا.

لنحسب كم مرة يتم فيها تضاعف العدد بين الساعة 3:00 مساءً والساعة 3:15 مساءً. بين الساعة 3:00 والساعة 3:15 يوجد 15 دقيقة. لذا، عدد مرات التضاعف خلال هذه الفترة هو 15 ÷ X.

وعندما يكون هناك 20 بكتيريا في البداية، وتتضاعف العينة كل X دقيقة، فإن العدد النهائي من البكتيريا بعد الزمن المحدد يكون معادلة التالية:

عدد البكتيريا = العدد الأصلي × (عدد المرات التي تم فيها التضاعف) = 20 × 2^(15/X)

ونحن نعرف أن العدد النهائي من البكتيريا في الساعة 3:15 هو 640.

إذاً، المعادلة تصبح:
640 = 20 × 2^(15/X)

لحل المعادلة وإيجاد قيمة X، يجب أولاً تحويل المعادلة إلى صيغة تساعدنا على حساب قيمة X. نقوم بقسمة الطرفين على 20:

32 = 2^(15/X)

الآن، نأخذ لوغاريتم الطرفين بقاعدة 2:

log2(32) = log2(2^(15/X))

باستخدام خاصية قوانين اللوغاريتم، نقوم بإحضار السلطة إلى الأمام:

log2(32) = (15/X) × log2(2)

نعلم أن log2(2) يساوي 1، لذا يصبح المعادلة:

log2(32) = 15/X

الآن، نحل المعادلة لإيجاد قيمة X. نقسم كلا الطرفين على log2(32):

X = 15 / log2(32)

ويمكن حساب قيمة log2(32) باستخدام الآلة الحاسبة أو الجدول، وبعد الحساب نجد أن:

log2(32) ≈ 5

إذاً، قيمة X هي:

X = 15 / 5 = 3

لذا، يتضاعف عدد البكتيريا كل 3 دقائق.

في هذه المسألة الرياضية، نحن مطالبون بحساب عدد البكتيريا في عينة معينة في فترة زمنية محددة، حيث يتضاعف عددها كل فترة زمنية معينة.

لحل هذه المسألة، نستخدم عدة مفاهيم وقوانين من الرياضيات:

1. التضاعف النموذجي: في هذه المسألة، نعرف أن العدد من البكتيريا يتضاعف كل فترة زمنية معينة. هذا يعني أن لدينا نمط نمو يمكن تعبير عنه بواسطة العدد 2، حيث يتضاعف العدد في كل فترة زمنية.

2. قوانين الأسس: نحن نستخدم قاعدة الأس العددي في حساب النمو النموذجي. إذا كانت $y = a \times 2^{(x/b)}$، فإن $b$ يمثل فترة التضاعف. وبالنسبة للمعادلة المطروحة، نقوم بتحليلها باستخدام اللوغاريتم القاعدي لقياس log2.

3. خوارزمية حساب اللوغاريتم: نحتاج إلى استخدام خوارزمية حساب لوغاريتم القاعدة 2 لحساب قيمة log2(32). تتيح لنا هذه القوانين حساب القيمة الصحيحة لفترة التضاعف.

بالاعتماد على هذه القوانين والمفاهيم، نستطيع حساب القيمة المطلوبة لـ X والتي تعبر عن فترة التضاعف للبكتيريا.