حساب عدد الكلمات باستخدام حروف ‘orange’ (مسألة رياضيات)

عدد الكلمات التي يمكن تكوينها باستخدام جميع الحروف المكونة لكلمة “orange” وباستخدام كل حرف مرة واحدة هو 5040 كلمة. لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مفهوم مبدأ التشكيلات والترتيب.

لحساب هذا العدد، نستخدم الصيغة التالية:
$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$

حيث $n$ هو عدد الحروف في الكلمة، وبما أن كل حرف يجب أن يظهر مرة واحدة فإن الكلمات تتشكل من $n!$ طريقة.

لكلمة “orange”، نجد أن لدينا 6 حروف، لذا نحسب:
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

ومن ثم، نقوم بحذف الكلمات التي تحتوي على حروف متكررة. في هذه الحالة، لدينا حرفي “r” و “e” يظهران مرتين كل واحد، لذا نقوم بتقسيم عدد الطرق على $2! \times 2!$ لحساب العدد النهائي:
$\frac{720}{2 \times 2} = 180$

إذاً، يمكن تكوين 180 كلمة باستخدام جميع الحروف في كلمة “orange” باستخدام كل حرف مرة واحدة.

لحل مسألة عدد الكلمات التي يمكن تكوينها باستخدام جميع الحروف في كلمة “orange”، سنستخدم مبدأ التشكيلات والترتيب، وهو مبدأ يعتمد على قوانين الكومبيناتوريات.

قوانين الكومبيناتوريات المستخدمة:

1. مبدأ الضرب:
   إذا كانت هناك $n$ خيارًا للحدث الأول و $m$ خيارًا للحدث الثاني، فإن إجمالي عدد الطرق لحدوث الحدثين هو $n \times m$.

2. مبدأ الترتيب:
   إذا كان هناك $n$ عنصرًا يجب ترتيبهم، فإن عدد الطرق لترتيبهم هو $n!$ (عامل الترتيب).

الحل:

1. حساب عدد الكلمات الكلي:
   كلمة “orange” تحتوي على 6 حروف، لذا نبدأ بحساب عدد الكلمات الكلي باستخدام مبدأ الترتيب:
   $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

2. تصحيح للحروف المكررة:
   نقوم بتصحيح العدد الكلي لحساب الحروف المكررة. في هذه الحالة، لدينا حرفي “r” و “e” يظهران مرتين كل واحد. لذا نقسم عدد الكلمات على $2! \times 2!$ (عامل الترتيب للحروف المكررة):
   $\frac{720}{2 \times 2} = 180$

الاستنتاج:

إذاً، يمكن تكوين 180 كلمة مختلفة باستخدام جميع الحروف في كلمة “orange” باستخدام كل حرف مرة واحدة. يظهر في الحل استخدام مبدأ الضرب لحساب الكلمات الكلية ومبدأ الترتيب لتصحيح الحروف المكررة.