حساب عدد الكلمات الأربعية (مسألة رياضيات)

كم عدد الكلمات المكونة من 4 أحرف والتي تحتوي على حرف على الأقل من بين الحروف A, B, C, D, و E؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مبدأ العد الكلي مع تقسيم الحالات. أولاً، لنحدد كم عدد الكلمات التي يمكننا تكوينها بوجود حرف واحد على الأقل من بين الحروف A و E.

نبدأ بحساب الكلمات التي تحتوي على حرف واحد فقط من بين A و E. لدينا خمس خيارات للحرف الأول وخمس خيارات للحرف الثاني وهكذا. لذا، يكون إجمالي عدد الكلمات التي تحتوي على حرف واحد على الأقل من بين A و E هو:

$2 \times 5^3 = 250$ كلمة.

ثم، نحسب عدد الكلمات التي لا تحتوي على حرف من بين A و E. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الحروف B, C, و D فقط. لذا، عدد الكلمات الناتجة في هذه الحالة هو:

$3^4 = 81$ كلمة.

الآن، نحسب الإجمالي عن طريق جمع الكلمات التي تحتوي على حرف على الأقل من بين A و E مع الكلمات التي لا تحتوي على أي حرف من بين A و E:

$250 + 81 = 331$ كلمة.

إذاً، يمكن تكوين 331 كلمة من 4 أحرف بحيث تحتوي على حرف على الأقل من بين A و E.

لحل المسألة، نحن بحاجة إلى استخدام قوانين الإحتمالات ومبدأ العد الكلي. هنا القوانين المستخدمة:

1. قانون الضرب: يستخدم لحساب عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار العناصر من مجموعات مختلفة. عندما يكون لدينا عدة خيارات لكل مرحلة من مراحل العملية، نضرب عدد الخيارات لكل مرحلة معًا.

2. مبدأ العد الكلي: يستخدم لحساب العدد الإجمالي لجميع الحالات الممكنة في مشكلة تحتوي على عدة مراحل.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

أولاً، نركز على الكلمات التي يجب أن تحتوي على حرف على الأقل من بين A و E. لحساب ذلك، لدينا 5 خيارات للحرف الأول و 5 خيارات للحرف الثاني و 5 خيارات للحرف الثالث و 5 خيارات للحرف الرابع. وذلك لأن كل حرف يمكن أن يكون A أو E أو B أو C أو D.

بالتالي، عدد الكلمات التي تحتوي على حرف واحد على الأقل من بين A و E هو: $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$ كلمة.

ثم، نركز على الكلمات التي لا تحتوي على حرف من بين A و E. في هذه الحالة، لدينا 3 خيارات للحرف الأول (B أو C أو D) و 3 خيارات للحرف الثاني و 3 خيارات للحرف الثالث و 3 خيارات للحرف الرابع.

بالتالي، عدد الكلمات التي لا تحتوي على حرف من بين A و E هو: $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ كلمة.

أخيرًا، نجمع عدد الكلمات في الحالتين معًا للحصول على الإجمالي:
$625 + 81 = 706$ كلمة.

لذا، يمكن تكوين 706 كلمات من 4 أحرف بحيث تحتوي على حرف على الأقل من بين A و E.