حساب عدد الطرق في تشكيلة اللاعبات (مسألة رياضيات)

عدد لاعبات فريق الكرة الطائرة في مدرستنا هو 14 لاعبة، بما في ذلك مجموعة من ثلاث توائم: أليسيا، أماندا، وآنا. كم هو عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار 6 لاعبات أساسيات دون قيود؟ (يُعامل التوائم على أنهن مميزات.)

لحساب عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار 6 لاعبات أساسيات من بين 14 لاعبة دون قيود، نستخدم الصيغة العامة لمثل هذا النوع من المشاكل في الاحتمالات والترتيبات. الصيغة هي:
$\text{عدد الطرق} = \frac{n!}{r!(n – r)!}$

حيث:

• $n$ هو عدد العناصر الكلي (عدد اللاعبات في هذه الحالة).
• $r$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها (عدد اللاعبات الأساسيات).
• $n!$ تعني عامل الفاكتوريال لعدد العناصر الكلي.
• $r!$ تعني عامل الفاكتوريال لعدد العناصر التي نريد اختيارها.
• $(n – r)!$ تعني عامل الفاكتوريال للعناصر المتبقية.

في هذه الحالة، لدينا:

• $n = 14$ (إجمالي عدد اللاعبات).
• $r = 6$ (عدد اللاعبات الأساسيات).

إذاً، نقوم بحساب عدد الطرق بالتطبيق المباشر للصيغة:
$\text{عدد الطرق} = \frac{14!}{6!(14 – 6)!}$

$= \frac{14!}{6! \times 8!}$

الآن، لتحديد قيمة $X$، نحتاج إلى معرفة أن الإجابة النهائية لهذه المسألة هي 3003. لذا، يجب أن نجد قيمة $X$ التي تجعل العدد الإجمالي للطرق مساوياً لـ 3003.

فلنحسب قيمة الطرق باستخدام $X$:
$\frac{14!}{6! \times 8!} = 3003$

الآن، يمكننا حل المعادلة للعثور على قيمة $X$ المناسبة.

لحساب عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار 6 لاعبات أساسيات من بين 14 لاعبة دون قيود، نحتاج إلى الاستفادة من مفهوم الاحتمالات والترتيبات في الرياضيات.

1. قانون الفاكتوريال:
   الفاكتوريال هو المنتج لجميع الأعداد الصحيحة الإيجابية من 1 إلى العدد نفسه. علامة الفاكتوريال تمثل بعلامة التعجب (!).
   مثال: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

2. صيغة الاحتمالات والترتيبات:
   لحساب عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب عناصر معينة من بين مجموعة معينة، نستخدم الصيغة التالية:
   $\text{عدد الطرق} = \frac{n!}{r!(n – r)!}$
   حيث:

   • $n$ هو عدد العناصر الكلي.
   • $r$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها.
   • $n!$ تعني عامل الفاكتوريال لعدد العناصر الكلي.
   • $r!$ تعني عامل الفاكتوريال لعدد العناصر التي نريد اختيارها.
   • $(n – r)!$ تعني عامل الفاكتوريال للعناصر المتبقية.

3. معالجة العناصر المتكررة:
   عندما يكون لدينا عناصر متكررة أو متطابقة، نحتسب الطرق بالاعتبار الفرق بينها لضمان الحساب الصحيح للإجمالي.

الآن، بالنسبة للمسألة المعروضة، لدينا 14 لاعبة بما في ذلك ثلاث توائم، ونريد اختيار 6 منهن ليكونن أساسيات.

لحساب عدد الطرق، نستخدم الصيغة التي ذكرتها سابقاً، ونوجه الاهتمام بخصوصية التوائم، فكل واحدة منهن مميزة.

الآن، نستخدم الصيغة لحساب عدد الطرق كالتالي:
$\text{عدد الطرق} = \frac{14!}{6!(14 – 6)!}$
$= \frac{14!}{6! \times 8!}$

حيث 14 هو عدد اللاعبات الكلي و 6 هو عدد اللاعبات الأساسيات التي نريد اختيارها.

الآن، لحساب قيمة $X$ المجهولة، نحتاج إلى حل المعادلة التالية:
$\frac{14!}{6! \times 8!} = 3003$

حيث 3003 هو الإجابة المعروفة للمسألة.

بعد حل المعادلة، سنجد قيمة $X$ التي تجعل المعادلة صحيحة.