حساب عدد الأعداد المربعة الإيجابية (مسألة رياضيات)

تتطلب المسألة حساب عدد الأعداد الكاملة المربعة الإيجابية التي تكون عوامل للمنتج $\left(2^{10}\right)\left(3^{12}\right)\left(5^{15}\right)$. لحساب هذا العدد، يمكننا التفكير في كل قاعدة على حدة ومن ثم ضرب النتائج.

للبداية، نحدد عدد الأعداد المربعة الإيجابية لكل قاعدة على حدة. لـ $2^{10}$، يمكننا أن نكون على يقينين أن جميع الأعداد المربعة الإيجابية لهذه القاعدة هي من فئة $2^{2k}$، حيث $k$ هو عدد صحيح. لذا، يمكن أن تكون الأعداد المربعة الإيجابية لـ $2^{10}$ هي $2^0$، $2^2$، $2^4$، وهكذا.

بنفس الطريقة، لـ $3^{12}$، تكون الأعداد المربعة الإيجابية من فئة $3^{2k}$، ولـ $5^{15}$، تكون من فئة $5^{2k}$.

الآن، نحسب عدد الأعداد المربعة لكل قاعدة على حدة. لـ $2^{10}$، لدينا 6 أعداد مربعة إيجابية. لـ $3^{12}$، لدينا 7 أعداد مربعة إيجابية، وأخيرًا لـ $5^{15}$، لدينا 8 أعداد مربعة إيجابية.

الآن، نضرب هذه الأعداد معًا للحصول على إجمالي عدد الأعداد المربعة الإيجابية كعوامل للمنتج. إذاً، الإجابة هي $6 \times 7 \times 8 = 336$.

لذلك، هناك 336 عددًا مربعًا إيجابيًا مثلى للمنتج $\left(2^{10}\right)\left(3^{12}\right)\left(5^{15}\right)$.

لحل هذه المسألة، نبدأ بتحليل القوانين والمفاهيم الرياضية التي تطبق على العملية. القوانين الأساسية هي:

1. قوانين الأسس والتراكيب:

   • لأي عدد صحيح $a$ و $b$، يتمثل $a^m \cdot b^n$ في $a^{m+n}$.
   • قاعدة الأس: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. عدد الأعداد المربعة:

   • للعثور على العدد المربع من فئة $a^{2k}$، حيث $k$ عدد صحيح.

بناءً على هذه القوانين، نتجه إلى حساب عدد الأعداد المربعة الإيجابية لكل قاعدة:

لـ $2^{10}$:

• $2^0 = 1$
• $2^2 = 4$
• $2^4 = 16$
• $2^6 = 64$
• $2^8 = 256$
• $2^{10} = 1024$

عدد الأعداد المربعة الإيجابية لـ $2^{10}$ هو 6.

لـ $3^{12}$:

• $3^0 = 1$
• $3^2 = 9$
• $3^4 = 81$
• $3^6 = 729$
• $3^8 = 6561$
• $3^{10} = 59049$
• $3^{12} = 531441$

عدد الأعداد المربعة الإيجابية لـ $3^{12}$ هو 7.

لـ $5^{15}$:

• $5^0 = 1$
• $5^2 = 25$
• $5^4 = 625$
• $5^6 = 15625$
• $5^8 = 390625$
• $5^{10} = 9765625$
• $5^{12} = 244140625$
• $5^{14} = 6103515625$
• $5^{15} = 30517578125$

عدد الأعداد المربعة الإيجابية لـ $5^{15}$ هو 8.

الآن، نضرب هذه الأعداد معًا للحصول على إجمالي عدد الأعداد المربعة الإيجابية كعوامل للمنتج: $6 \times 7 \times 8 = 336$.

إذاً، هناك 336 عددًا مربعًا إيجابيًا مثلى للمنتج $\left(2^{10}\right)\left(3^{12}\right)\left(5^{15}\right)$.