عند توسيع التعبير $25 \cdot 24 \cdot 23 \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$، كم عدد من الأصفار في نهاية العدد الناتج؟
الحل:
نحن هنا نقوم بحساب عدد الأصفار في نهاية العدد الناتج عن ضرب الأعداد من 1 إلى 25.
لنحسب أولاً كم عدد من الأصفار تسهم كل عامل في إنتاج صفر في نهاية العدد الناتج. الصفر ينتج فقط عن حاصل ضرب عدد 2 وعدد 5. ومن المعروف أن هناك عددًا كافيًا من الأعداد الزوجية (التي تحتوي على 2)، لذلك سنحدد كم عدد 5 واحد تواجد في العدد من 1 إلى 25.
في الفترة من 1 إلى 25، هناك 5 أعداد قابلة للقسمة على 5 دون بقية (5 و 10 و 15 و 20 و 25).
تأتي الأعداد 5 و 10 و 15 و 20 و 25 مع كل منها عامل 5، ومع 25 يأتي عامل آخر 5. لذا، هناك 5 عوامل 5.
الآن، سنرى كم عدد 2 نتيجة للضربات الأخرى. نجد أن هناك أعدادًا زوجية متاحة بوفرة (2 و 4 و 6 وهكذا)، وهذا يعني أن لدينا ما يكفي من عوامل 2 لإنتاج الصفر.
بما أن هناك عوامل 2 بوفرة، وهو أكثر من عوامل 5، فإن عدد الأصفار في النهاية يتحدد بواسطة عوامل ال 5. لذا، عدد الأصفار في النهاية يكون نفسه عدد الأعداد التي تقسم بلا باقي على 5 في الفترة من 1 إلى 25، أي 5.
إذن، هناك 5 أصفار في نهاية العدد الناتج.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة وتحديد عدد الأصفار في نهاية العدد الناتج من ضرب الأعداد من 1 إلى 25، نستخدم القوانين التالية:
-
قانون الأصفار في الضرب: يتكون صفر في نهاية العدد الناتج عن الضرب عندما يتم ضرب عاملين رئيسيين: العامل 2 والعامل 5. لكي يتم إنتاج صفر في النهاية، يجب أن يكون عدد كافٍ من عوامل 2 وعوامل 5 متاحًا في عملية الضرب.
-
حساب عوامل 2 و 5: نحتاج إلى حساب عدد الأعداد التي تحتوي على عوامل 2 وعوامل 5 في الفترة من 1 إلى 25.
بموجب القوانين المذكورة، نقوم بالخطوات التالية:
أولاً، نحسب عدد الأعداد التي تحتوي على عامل 5:
- في الفترة من 1 إلى 25، هناك 5 أعداد قابلة للقسمة على 5 دون باقي (5، 10، 15، 20، 25).
ثانياً، نحسب عدد الأعداد التي تحتوي على عامل 2:
- لا تقتصر الأعداد الزوجية على 2 و 4 و 6 وهكذا، بل تتوفر بوفرة في الفترة من 1 إلى 25، مما يعني وجود عدد كافٍ من عوامل 2 لإنتاج الصفر.
نلاحظ أن عوامل 2 متوفرة بوفرة أكبر من عوامل 5، وبالتالي سيكون عدد الأصفار في النهاية محددًا بواسطة عوامل ال 5.
بناءً على الحسابات السابقة، نجد أن عدد الأصفار في نهاية العدد الناتج هو نفس عدد الأعداد التي تقسم بلا باقي على 5 في الفترة من 1 إلى 25، أي 5.
هذا هو الحل المفصل للمسألة مع استخدام القوانين المذكورة.