المطلوب حساب طول المنحنى المعلوم بشكل معلم بارامتري على الفترة t = 0 t = 0 t = 0 t = π t = \pi t = π ( x , y ) = ( 2 sin t , 2 cos t ) (x, y) = (2 \sin t, 2 \cos t) ( x , y ) = ( 2 sin t , 2 cos t )
لحساب طول المنحنى، نستخدم الصيغة التالية للطول الإجمالي للمنحنى المعطى بواسطة الدالة البارامترية r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) r(t) = (x(t), y(t)) r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t )) [ a , b ] [a, b] [ a , b ] L = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt L = ∫ a b ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 d t
لدينا:x ( t ) = 2 sin t x(t) = 2 \sin t x ( t ) = 2 sin t y ( t ) = 2 cos t y(t) = 2 \cos t y ( t ) = 2 cos t
لنحسب الإشتقاقات الأولى بالنسبة لـ t t t d x d t = 2 cos t \frac{dx}{dt} = 2 \cos t d t d x = 2 cos t d y d t = − 2 sin t \frac{dy}{dt} = -2 \sin t d t d y = − 2 sin t
نقوم برفع هاتين الإشتقاقتين إلى التربيع ونجمعهما:( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = ( 2 cos t ) 2 + ( − 2 sin t ) 2 \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (2 \cos t)^2 + (-2 \sin t)^2 ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 = ( 2 cos t ) 2 + ( − 2 sin t ) 2
نقوم بتبسيط التعبير:( 2 cos t ) 2 + ( − 2 sin t ) 2 = 4 cos 2 t + 4 sin 2 t (2 \cos t)^2 + (-2 \sin t)^2 = 4 \cos^2 t + 4 \sin^2 t ( 2 cos t ) 2 + ( − 2 sin t ) 2 = 4 cos 2 t + 4 sin 2 t
نستخدم هويات المثلثات لتبسيط التعبير إلى:4 ( cos 2 t + sin 2 t ) = 4 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4 4 ( cos 2 t + sin 2 t ) = 4
الآن يمكننا استخدام الصيغة لحساب الطول:L = ∫ 0 π 4 d t L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{4} \, dt L = ∫ 0 π 4 d t
نقوم بتبسيطها إلى:L = ∫ 0 π 2 d t L = \int_{0}^{\pi} 2 \, dt L = ∫ 0 π 2 d t
نحسب التكامل:L = [ 2 t ] 0 π L = \left[ 2t \right]_{0}^{\pi} L = [ 2 t ] 0 π
L = 2 π L = 2\pi L = 2 π
إذا كان طول المنحنى المعطى على الفترة t = 0 t = 0 t = 0 t = π t = \pi t = π 2 π 2\pi 2 π
نقوم بحساب طول المنحنى باستخدام الصيغة العامة لحساب الطول لمنحنى بين نقطتين على الفترة t t t
L = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt L = ∫ a b ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 d t
حيث ( x ( t ) , y ( t ) ) (x(t), y(t)) ( x ( t ) , y ( t )) a a a b b b
في هذه المسألة، الدالة البارامترية للمنحنى هي:( x , y ) = ( 2 sin t , 2 cos t ) (x, y) = (2 \sin t, 2 \cos t) ( x , y ) = ( 2 sin t , 2 cos t )
نقوم بحساب الإشتقاقات الأولى بالنسبة لـ t t t d x d t = 2 cos t \frac{dx}{dt} = 2 \cos t d t d x = 2 cos t d y d t = − 2 sin t \frac{dy}{dt} = -2 \sin t d t d y = − 2 sin t
ثم نقوم بتربيع هاتين الإشتقاقتين وجمعهما:( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = ( 2 cos t ) 2 + ( − 2 sin t ) 2 \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (2 \cos t)^2 + (-2 \sin t)^2 ( d t d x ) 2 + ( d t d y ) 2 = ( 2 cos t ) 2 + ( − 2 sin t ) 2
نبسط التعبير باستخدام هويات المثلثات:( 2 cos t ) 2 + ( − 2 sin t ) 2 = 4 cos 2 t + 4 sin 2 t = 4 (2 \cos t)^2 + (-2 \sin t)^2 = 4 \cos^2 t + 4 \sin^2 t = 4 ( 2 cos t ) 2 + ( − 2 sin t ) 2 = 4 cos 2 t + 4 sin 2 t = 4
الآن، نقوم بتكامل الجذر التربيعي لهذا التعبير على فترة t = 0 t = 0 t = 0 t = π t = \pi t = π L = ∫ 0 π 4 d t L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{4} \, dt L = ∫ 0 π 4 d t
نقوم بتبسيط الجذر إلى قيمة ثابتة:L = ∫ 0 π 2 d t L = \int_{0}^{\pi} 2 \, dt L = ∫ 0 π 2 d t
نحسب التكامل:L = [ 2 t ] 0 π L = \left[ 2t \right]_{0}^{\pi} L = [ 2 t ] 0 π
L = 2 π L = 2\pi L = 2 π
لذلك، الطول الإجمالي للمنحنى على الفترة t = 0 t = 0 t = 0 t = π t = \pi t = π 2 π 2\pi 2 π
القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:
قاعدة حساب الطول للدوال البارامترية: استخدمنا الصيغة العامة لحساب الطول للمنحنى المعرف بدالة بارامترية.هويات المثلثات: استخدمنا هذه الهويات لتبسيط التعبير والوصول إلى النتيجة النهائية.
