حساب درجات الباقي في القسمة الجبرية (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب الدرجات المحتملة للباقي عند قسمة متعدد ذو أس $-3x^5 + 10x – 11$ . لنقم بحساب ذلك، يمكننا استخدام مفهوم القسمة الطويلة. نفترض أن لدينا متعدداً آخر يمثله العبارة الجبرية $ax^k$، حيث $a$ هو معامل غير معروف و $k$ هو السلطة الأعلى ل $x$ في المتعدد.

لحساب الدرجة المحتملة للباقي، نستخدم قاعدة “قسمة الأقل”، وفي هذا السياق، يكون الباقي متعدداً من درجة أقل من المتعدد الذي نقسم عليه. إذا كنا نقوم بالقسمة على $-3x^5 + 10x – 11$، فإن الباقي سيكون متعدداً من الدرجة $k-1$.

نبدأ بمحاولة متعدد درجة أعلى، ونرى كما يلي:

إذا كان المتعدد $ax^k$، فإن القسمة ستكون على النحو التالي:

$\frac{ax^k}{-3x^5 + 10x – 11}$

يمكننا محاولة قسمتها ومعرفة الباقي ومحاولة تقليل درجة الباقي. يكون الباقي متعدداً من الدرجة $k-1$.

بما أن المعلومات المتاحة لدينا غير كافية لتحديد القيمة المحددة للدرجة، يجب علينا محاولة درجات مختلفة للمتعدد حتى نجد الباقي الأدنى. يمكن أن تكون القيم المحتملة للدرجة من $k-1$ هي: $0, 1, 2, 3, 4$.

نقوم بتجربة كل قيمة من هذه القيم للحصول على الباقي. إذا كان الباقي يكون صفرًا، فإن المتعدد يقسم بدقة المتعدد الأصلي، وإذا كان غير ذلك، فإن الباقي سيكون متعددًا من الدرجة $k-1$.

بعد حساب القيم، نقوم بترتيب الأقسام بفصلها بين فاصلة. القيم المحتملة للدرجة هي:

$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$

هذه هي القيم المحتملة للدرجة، ويمكننا استنتاجها من القاعدة المذكورة أعلاه.

لحل مشكلة حساب الدرجات المحتملة للباقي عند قسمة المتعدد $-3x^5 + 10x – 11$، يمكننا استخدام قاعدة قسمة الأقل. هذه العملية تستند إلى فكرة أن الباقي عند قسمة متعدد على متعدد آخر سيكون متعدداً من درجة أقل.

لنفترض أن لدينا متعدداً $ax^k$، حيث $a$ هو معامل غير معروف و $k$ هو السلطة الأعلى ل $x$ في المتعدد. سنقوم بتجربة مختلف قيم ل $k$ لنرى الباقي المحتمل.

المعادلة المستخدمة للقسمة هي:

$\frac{ax^k}{-3x^5 + 10x – 11}$

حيث يتم قسم المتعدد $-3x^5 + 10x – 11$ على $ax^k$.

الآن، سنختبر قيم مختلفة لـ $k$ لنرى الباقي المحتمل ونحاول تقليل درجة الباقي. القيم الممكنة لـ $k$ هي: $0, 1, 2, 3, 4$.

1. عند $k = 0$:
   $\frac{a}{-3x^5 + 10x – 11}$
   الباقي المحتمل هو متعدد من الدرجة $-1$.

2. عند $k = 1$:
   $\frac{ax}{-3x^5 + 10x – 11}$
   الباقي المحتمل هو متعدد من الدرجة $0$.

3. عند $k = 2$:
   $\frac{ax^2}{-3x^5 + 10x – 11}$
   الباقي المحتمل هو متعدد من الدرجة $1$.

4. عند $k = 3$:
   $\frac{ax^3}{-3x^5 + 10x – 11}$
   الباقي المحتمل هو متعدد من الدرجة $2$.

5. عند $k = 4$:
   $\frac{ax^4}{-3x^5 + 10x – 11}$
   الباقي المحتمل هو متعدد من الدرجة $3$.

نقوم بتجربة هذه القيم لتحديد أدنى درجة ممكنة للباقي. بعد الحسابات، يتبين أن الباقي المحتمل الأدنى هو من الدرجة $1$ عند استخدام $k = 2$.

لذلك، الدرجات المحتملة للباقي هي: $-1, 0, 1, 2, 3$.

قوانين الجبر المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. قاعدة القسمة الطويلة: حيث يتم قسم متعدد على متعدد آخر، ويتم تحديد الباقي الناتج.

2. درجات المتعدد: حيث تحدد الدرجة الأعلى للمتعدد الباقي المحتمل.

3. تجريب قيم مختلفة: حيث يتم تجربة قيم مختلفة للدرجة للعثور على الباقي المحتمل الأدنى.

باختصار، يتم استخدام قوانين الجبر وتقنيات القسمة الطويلة لتحديد الدرجات المحتملة للباقي في هذا السياق.