حساب دالة الجيب العكسية للقيمة المعينة (مسألة رياضيات)

نحن هنا لحل المعادلة الرياضية:

حساب قيمة $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ بالراديان.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفحص الدالة الجيبية العكسية للسين. في هذه الحالة، نعلم أن $\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. وبما أننا نبحث عن الزاوية التي يكون جيب السين فيها هو $-\frac{\sqrt{3}}{2}$، فإن هذه الزاوية تكون $-\frac{\pi}{3}$.

لذا، حلاً للمعادلة هو:

$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}.$

لنقم بحساب قيمة $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم المتعلقة بالدوال العكسية والزوايا المرتبطة بالسين.

أولًا، لنتحدث عن دالة الجيب العكسية $\arcsin$، وهي الدالة التي تعكس دالة السين. إذا كان لدينا $\sin(\theta) = x$، فإن $\arcsin(x) = \theta$، حيث $\theta$ هي الزاوية التي يكون فيها السين يساوي $x$.

القاعدة الأساسية في حل هذه المسألة هي فهم قيم السين في بعض الزوايا المهمة. في هذه الحالة، نعلم أن $\sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. هذا يعني أن الزاوية $-\frac{\pi}{3}$ تقع في الربع الثالث حيث يكون السين سالبًا ويساوي $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

القانون الذي تم استخدامه في هذا الحل هو أن $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. يعني ذلك أن الزاوية التي يكون فيها السين هو $-x$ هي نفسها الزاوية التي يكون فيها السين يساوي $x$ ولكن باتجاه معاكس.

لدينا: $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$. ثم، نعلم من القاعدة السابقة أن $\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$.

لذا، الحل النهائي هو:

$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}.$