حساب حجم الأسطوانة مع المخروطين (مسألة رياضيات)

قم بإحاطة مخروطين متماثلين بنفس القطر، حيث يبلغ نصف قطر كل مخروط 12 سم وارتفاع كل مخروط 12 سم، بداخل أسطوانة. قاعدة كل مخروط تشكل قاعدة للأسطوانة، وارتفاع الأسطوانة هو 24 سم. ما هو حجم الأسطوانة بوحدات الحجم المكعب؟ استخدم قيمة $\pi$ في إجابتك.

لحل هذه المسألة، نحتاج أولاً إلى حساب حجم كل مخروط، ثم نقوم بطرح حجم المخروطين من حجم الأسطوانة.

حجم المخروط الواحد يُحسب بالمعادلة:

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع.

وبالتالي:

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi (12)^2 (12)$

ثم نضرب الحجم بعدد المخروطين:

$V_{\text{المخروطين}} = 2 \times \frac{1}{3} \pi (12)^2 (12)$

الآن، نحسب حجم الأسطوانة بالمعادلة:

$V_{\text{الأسطوانة}} = \pi r_{\text{الأسطوانة}}^2 h_{\text{الأسطوانة}}$

حيث $r_{\text{الأسطوانة}}$ هو نصف قطر الأسطوانة و $h_{\text{الأسطوانة}}$ هو ارتفاع الأسطوانة.

وبالتالي:

$V_{\text{الأسطوانة}} = \pi (12)^2 (24)$

الآن، نقوم بطرح حجم المخروطين من حجم الأسطوانة:

$V_{\text{الناتج}} = V_{\text{الأسطوانة}} – V_{\text{المخروطين}}$

$V_{\text{الناتج}} = \pi (12)^2 (24) – 2 \times \frac{1}{3} \pi (12)^2 (12)$

بعد حساب هذه القيم، سنحصل على حجم الأسطوانة بوحدات الحجم المكعب.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الرياضية المتعلقة بحجوم المخروط والأسطوانة. دعونا نركز أكثر على الخطوات والتفاصيل.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو حجم المخروط، ويُمثل بالمعادلة:

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع. وفي هذه المسألة، نستخدم هذا القانون لحساب حجم مخروط واحد.

بعد ذلك، نقوم بضرب حجم المخروط في عدد المخروطين (الذي في هذه الحالة هو 2) لأن هناك مخروطين.

$V_{\text{المخروطين}} = 2 \times \frac{1}{3} \pi r^2 h$

ثم، نستخدم القانون الثاني الذي يتعلق بحجم الأسطوانة، ويُمثل بالمعادلة:

$V_{\text{الأسطوانة}} = \pi r^2 h$

حيث $r$ هو نصف قطر الأسطوانة و $h$ هو ارتفاعها. نقوم بحساب حجم الأسطوانة باستخدام هذا القانون.

بعد ذلك، نقوم بطرح حجم المخروطين من حجم الأسطوانة للحصول على الناتج النهائي:

$V_{\text{الناتج}} = V_{\text{الأسطوانة}} – V_{\text{المخروطين}}$

الخطوات المذكورة أعلاه تستند إلى قوانين الحجوم للأشكال الهندسية المختلفة. الفهم الجيد لهذه القوانين يسهم في حل مثل هذه المسائل.