حساب باقي قوة 67 للعدد 67 (مسألة رياضيات)

نحن هنا لحل مسألة حسابية معينة تتعلق بالباقي عند قسمة (67^67 + 67) على 68.

للقضاء على أي تعقيد، سنقوم أولاً بإعادة صياغة المسألة بطريقة متوافقة مع اللغة العربية:

إيجاد الباقي عند قسمة (67^67 + 67) على 68.

الآن، دعونا نقوم بحساب هذا الباقي بشكل تفصيلي. سنقوم بذلك باستخدام القوانين الحسابية والخوارزميات البسيطة.

لنحسب القوة الـ67 للرقم 67، وبما أن العملية تتضمن قسمة، فإننا سنستخدم مفهوم الباقي:

$67^{67} + 67 \equiv x \pmod{68}$

نبدأ بحساب $67^{67}$ باستخدام القوانين الجبرية ونأخذ باقي القسمة عند 68:

$67^{67} \equiv (67 \pmod{68})^{67} \equiv 67^{67} \pmod{68}$

ثم نقوم بجمع الناتج مع 67 ونأخذ الباقي عند القسمة على 68:

$x \equiv (67^{67} + 67) \pmod{68}$

الآن، نقوم بحساب $67^{67}$ ونأخذ الباقي:

$67^{67} \equiv 67 \times (67^{66})$

نكرر هذه العملية بشكل تكراري حتى نصل إلى $67^{1}$، وفي كل مرة نأخذ الباقي عند القسمة على 68.

الناتج النهائي سيكون الباقي عند قسمة $(67^{67} + 67)$ على 68.

سنقوم الآن بحل المسألة بتفصيل أكبر، مستخدمين القوانين الحسابية والخوارزميات الرياضية لحساب باقي العملية.

المسألة تتطلب إيجاد الباقي عند قسم $67^{67} + 67$ على 68. لحساب هذا الباقي، سنقوم بتطبيق مبدأ باقي القسمة في كل خطوة.

أولاً وقبل البدء، نستخدم قاعدة في الجبر:

$a \equiv b \pmod{m} \implies a^n \equiv b^n \pmod{m}$

الآن، سنقوم بحساب $67^{67}$ بشكل تفصيلي باستخدام القاعدة المذكورة وباستخدام باقي القسمة في كل خطوة. لنبدأ:

$67^{67} \equiv (67 \pmod{68})^{67} \equiv 67^{67} \pmod{68}$

ثم نقوم بتقسيم العملية إلى عدة خطوات أصغر، ونأخذ الباقي في كل خطوة لتجنب الأخطاء في الحسابات. نعلم أن:

$67^{1} \equiv 67 \pmod{68}$

ثم نستمر في التكرار:

$67^{2} \equiv 67 \times 67 \equiv 4489 \equiv 65 \pmod{68}$

$67^{3} \equiv 67 \times 65 \equiv 4355 \equiv 3 \pmod{68}$

$67^{4} \equiv 67 \times 3 \equiv 201 \pmod{68}$

وهكذا نواصل حتى نصل إلى:

$67^{67} \equiv 67 \times \ldots \times \text{(آخر باقي)} \pmod{68}$

ثم نقوم بجمع هذا الناتج مع 67 ونأخذ الباقي:

$x \equiv (67^{67} + 67) \pmod{68}$

هذه العمليات تعتمد على قوانين حسابية والقاعدة السابقة للاستفادة من باقي القسمة. يتم استخدام الجداء والقوى لتبسيط العمليات وتقليل الأخطاء المحتملة.