حساب المنتج الداخلي بين نواقل مع طولين معروفين (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هما ناقلتان بحيث $|\mathbf{a}| = 7$ و $|\mathbf{b}| = X$، فإننا نريد إيجاد جميع القيم الممكنة للمنتج الداخلي $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$.

للعثور على المنتج الداخلي بين الناقلتين، يمكن استخدام العلاقة:

حيث $\theta$ هو الزاوية بين الناقلتين. ولكن بما أننا نريد مجموعة القيم الممكنة للمنتج الداخلي فقط، فإن أعلى قيمة ممكنة للكوسين هي 1 (عندما تكون الزاوية بين الناقلتين صفر) وأقل قيمة ممكنة هي -1 (عندما تكون الزاوية بين الناقلتين 180 درجة).

لذا، القيم الممكنة للمنتج الداخلي هي المجال الذي يتراوح بين $7X$ و $-7X$.

إذا كان المنتج الداخلي $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 77$، فإننا نستطيع كتابة المعادلة التالية:

$7X = 77$

من هذه المعادلة، نحسب قيمة $X$ كالتالي:

$X = \frac{77}{7} = 11$

لذا، قيمة المتغير غير المعلومة $X$ هي 11.

بالتالي، المجال الممكن للمنتج الداخلي $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ هو $[-77, 77]$.

لحل المسألة، نستخدم القوانين الأساسية للمنتج الداخلي بين النواقل ومفهوم الزاوية بينهما. القوانين المستخدمة تشمل:

1. تعريف المنتج الداخلي: يعبر المنتج الداخلي $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ بين ناقلتين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ عن العدد الذي يتم الحصول عليه بضرب طول كل منهما في قيمة الكوسين الزاوية بينهما.

2. قانون زاوية الكوسين: يعبر هذا القانون عن العلاقة بين المنتج الداخلي وزاوية بين الناقلتين. عندما يكونت الزاوية بين الناقلتين صفر، فإن قيمة الكوسين تكون 1، وعندما تكون الزاوية 180 درجة، فإن قيمة الكوسين تكون -1.

بناءً على هذه القوانين، يمكننا استخدام العلاقة $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)$ لحساب المنتج الداخلي بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$، حيث $\theta$ هي الزاوية بين الناقلتين.

في هذه المسألة، الناقلة $\mathbf{a}$ تمتلك طولاً مقداره 7، والناقلة $\mathbf{b}$ لها طول يُعبر عنه بـ $X$، والمنتج الداخلي بينهما معروف ويساوي 77.

نستخدم المعادلة $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7X$ لتمثيل المنتج الداخلي بين الناقلتين، ونحل للحصول على قيمة $X$.

$7X = 77$

ومنها:

$X = \frac{77}{7} = 11$

وبالتالي، قيمة المتغير غير المعروف $X$ هي 11.

بعد ذلك، نحسب المجال الممكن للمنتج الداخلي $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$، الذي يكون بين $-7X$ و $7X$، وعندما تكون قيمة $X$ تساوي 11، يكون المجال الممكن $[-77, 77]$.

هذا الحل يستند إلى فهمنا للعلاقات الأساسية بين المنتج الداخلي والزوايا بين النواقل في الفضاء الرباعي.