حساب المصفوفة المعكوسة: تحليل حالة مصفوفة 2×2 (مسألة رياضيات)

المصفوفة المعطاة هي:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & X \end{pmatrix}$

لحساب المصفوفة المعكوسة، نستخدم العمليات الرياضية المعتادة. المصفوفة المعكوسة لهذه المصفوفة تُمثل بواسطة:
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

حيث أن $ad – bc$ لا يجب أن يكون يساوي صفر لكي تكون المصفوفة قابلة للعكس. في حالة عدم وجود المصفوفة المعكوسة، يتم تعويضها بالمصفوفة الصفراء.

لحساب المصفوفة المعكوسة للمصفوفة المعطاة، نستخدم العناصر التالية:
$a = 2, \quad b = 3, \quad c = -1, \quad d = X$

نقوم بحساب $ad – bc$:
$2X – (-1) \times 3 = 2X + 3$

الآن، نقوم بتحديد ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس أم لا. إذا كان $2X + 3 \neq 0$، فإن المصفوفة قابلة للعكس. لكن إذا كانت تساوي صفر، فإن المصفوفة غير قابلة للعكس.

إذاً، الآن نحل المعادلة $2X + 3 \neq 0$ لنحدد قيمة X:
$2X + 3 \neq 0$
$2X \neq -3$
$X \neq -\frac{3}{2}$

إذا كانت $X$ لا تكون تساوي $-\frac{3}{2}$، فإن المصفوفة قابلة للعكس. وبالتالي، المصفوفة المعكوسة تكون:
$\frac{1}{2X + 3} \begin{pmatrix} X & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

إذا كانت $X = -\frac{3}{2}$، فإن المصفوفة غير قابلة للعكس، وبالتالي تكون المصفوفة المعكوسة هي المصفوفة الصفراء.

لحساب المصفوفة المعكوسة، يمكننا استخدام القاعدة التي تقول إن مصفوفة $A^{-1}$ لمصفوفة $A$ ذات الحجم $2 \times 2$ تُحسب كالتالي:

$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

حيث $a، b، c،$ و $d$ هي عناصر المصفوفة $A$ و $\text{det}(A) = ad – bc$ هو المعامل المحدد لمصفوفة $A$. إذا كان $\text{det}(A) \neq 0$، فإن $A$ قابلة للعكس.

لحل المسألة، نقوم بتعيين قيم العناصر في المصفوفة المعطاة:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & X \end{pmatrix}$
$a = 2, \quad b = 3, \quad c = -1, \quad d = X$

ثم نحسب المعامل المحدد $\text{det}(A)$:
$\text{det}(A) = ad – bc = (X \cdot 2) – (3 \cdot -1) = 2X + 3$

الآن، نقوم بتحديد إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس أم لا. إذا كان $\text{det}(A) \neq 0$، فإن المصفوفة قابلة للعكس.

$2X + 3 \neq 0$

نقوم بحل المعادلة للعثور على القيمة المحددة لـ $X$:
$2X \neq -3$
$X \neq -\frac{3}{2}$

إذا كانت $X$ لا تكون تساوي $-\frac{3}{2}$، فإن المصفوفة قابلة للعكس. وبالتالي، المصفوفة المعكوسة تكون:
$\frac{1}{2X + 3} \begin{pmatrix} X & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

إذا كانت $X = -\frac{3}{2}$، فإن المصفوفة غير قابلة للعكس، وبالتالي تكون المصفوفة المعكوسة هي المصفوفة الصفراء.

قوانين الجبر المستخدمة في هذا الحل:

1. قاعدة حساب المعامل المحدد لمصفوفة $2 \times 2$: $\text{det}(A) = ad – bc$.
2. لحساب المصفوفة المعكوسة $A^{-1}$: $A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
3. إذا كان $\text{det}(A) \neq 0$، فإن المصفوفة $A$ قابلة للعكس.