حساب المسافة بين نقطتين في الفضاء (مسألة رياضيات)

المطلوب هو تحديد المسافة بين النقطتين (-5، -2) و (7، 3). لنقم أولاً بإعادة صياغة المسألة بشكل مترجم:

“قم بحساب المسافة بين النقطتين (-5، -2) و (7، 3).”

الحل:

لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء، نستخدم معادلة المسافة بين نقطتين في نظام الإحداثيات. إذا كانت النقطتين هما (x₁، y₁) و (x₂، y₂)، يمكننا استخدام المعادلة التالية:

$d = \sqrt{{(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²}}$

في حالتنا، النقطتين هما (-5، -2) و (7، 3). لذا:

$d = \sqrt{{(7 – (-5))² + (3 – (-2))²}}$

$d = \sqrt{{(12)² + (5)²}}$

$d = \sqrt{{144 + 25}}$

$d = \sqrt{{169}}$

$d = 13$

إذا كانت الإجابة النهائية هي 13، وهي المسافة بين النقطتين المعطاة.

لنقم بتوضيح أكثر وذلك باستخدام القوانين والمعادلات المستخدمة في حل المسألة:

المعادلة المستخدمة لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء الثنائي الأبعاد (نظام الإحداثيات) هي معادلة مسافة البينا:

$d = \sqrt{{(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²}}$

حيث:

• $x₁$ و $y₁$ هما إحداثيات النقطة الأولى.
• $x₂$ و $y₂$ هما إحداثيات النقطة الثانية.
• $d$ هو المسافة بين النقطتين.

في حالة المسألة التي قدمتها، النقطة الأولى هي $(-5، -2)$ والنقطة الثانية هي $(7، 3)$. لذا، نستخدم القانون الذي ذُكر أعلاه:

$d = \sqrt{{(7 – (-5))² + (3 – (-2))²}}$

نبدأ بحساب الاختلافات في الإحداثيات:

$d = \sqrt{{(7 + 5)² + (3 + 2)²}}$

نقوم بإجراء العمليات الحسابية:

$d = \sqrt{{12² + 5²}}$

$d = \sqrt{{144 + 25}}$

$d = \sqrt{{169}}$

$d = 13$

إذاً، المسافة بين النقطتين هي 13 وحدة.

تستند هذه العملية إلى مبدأ المثلثات في الهندسة الرياضية، حيث يتم استخدام مبدأ بيثاغورس لحساب المسافة بين نقطتين في نظام الإحداثيات.