حساب المسافة بين نقطتين بالهندسة الفضائية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
في المثلث ABC الذي يحمل الرؤوس A(1, -3)، B(-2, 0)، و C(4, 3)، عندما يتم عكسه حول محور الصدر (y-axis) ليشكل المثلث A’B’C’، ما هو طول القطعة التي تم رسمها من A إلى A’؟

الحل:
لنقم أولاً بحساب إحداثيات نقطة A’ بعد عكس المثلث حول محور الصدر. عندما نقوم بعكس نقطة على محور الصدر، يتغير إحداثي x فقط بينما يظل إحداثي y ثابتًا. لذلك، نقوم بتغيير إشارة إحداثي x لنحصل على نقطة A’.

لنقم بحساب إحداثيات A’:
إحداثيات A(1, -3) بعد العكس تصبح A'(-1, -3).

الآن، لنقم بحساب طول القطعة التي تم رسمها من A إلى A’ باستخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء.

معادلة المسافة بين نقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) هي:
$d = \sqrt{(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²}$

لنقم بحساب طول القطعة من A إلى A’:
$d = \sqrt{(-1 – 1)² + (-3 – (-3))²}$

$d = \sqrt{(-2)² + 0}$

$d = \sqrt{4}$

$d = 2$

إذا كان طول القطعة المرسومة من A إلى A’ هو 2 وحدة.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح أكثر وذلك باستخدام قوانين الهندسة الرياضية المستخدمة في حل هذه المسألة.

لنبدأ بحساب إحداثيات نقطة A’ بعد عكس المثلث حول محور الصدر (y-axis). عند عكس النقطة A(1, -3)، نقوم بتغيير إشارة إحداثي x فقط، فيكون إحداثي A’ هو (-1, -3).

الآن، سنستخدم قانون مسافة بين نقطتين في الفضاء لحساب الطول. قانون المسافة بين نقطتين (x₁, y₁) و (x₂, y₂) هو:

$d = \sqrt{(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²}$

في حالتنا، نقوم بحساب المسافة بين A و A’:

$d = \sqrt{(-1 – 1)² + (-3 – (-3))²}$

$d = \sqrt{(-2)² + 0}$

$d = \sqrt{4}$

$d = 2$

إذاً، الطول الذي تمثله القطعة المرسومة من A إلى A’ هو 2 وحدة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون عكس إحداثيات النقطة حول محور الصدر (y-axis): عند عكس نقطة حول محور الصدر، يتغير إشارة إحداثي x فقط.

2. قانون مسافة بين نقطتين في الفضاء: يُستخدم لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء، وهو مشتق من مبرهنة في الهندسة الفضائية. يتمثل في حساب الجذر التربيعي لمجموع مربعات الفروق بين إحداثيات النقطتين.

بهذا الشكل، تم استخدام قوانين الهندسة الرياضية لتحديد إحداثيات نقطة معكوسة وحساب الطول الذي تمثله القطعة المرسومة بين النقطتين.